2013_退役省自主命题 (2013·理)
18．（本小题满分 12 分）
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\left|a_{2}-a_{3}\right|=10, a_{1} a_{2} a_{3}=125$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{a_{n}}>1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由。
［答案］①$a_{n}=\frac{5}{3} \cdot 3^{n-1}$ ，或 $a_{n}=-5 \cdot(-1)^{n-1} \quad$②不存在
［解析］分析：（I）根据题目条件，用首项 $a_{1}$ ，公比 $q$ 表示已知等式建立方程即可求得 $a_{1}, q$ ，进而求得 $\left\{a_{n}\right\}$ ．
（II）先求得 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的和，再用放缩法即可证．
解：（I）由已知条件得：$a_{5}=5$ ，又 $a|q-1|=10$, 有 $q=-1$ 或 3 ，
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项或 $a_{n}=5 \times 3^{n-2}$
（II）若 $q=-1, \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=-\frac{1}{5}$ 或 0 ，不存在这祥的正整数 $m$ ；
若 $q=-3, \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \frac{1}{a_{n}}=\frac{9}{10}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]<\frac{9}{10}$ ，不存在这样的正整数 $m$ ．
［学科同考点定位］本题考查等比数列的性质及求和方法，考查综合分析问题的能力。