（5分）已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F_ 1、…——2014 高考数学第 9 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵ 双曲线 C 的离心率为 2 ，
$\therefore \mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=2$ ，即 $\mathrm{c}=2 \mathrm{a}$ ，
点 A 在双曲线上，
则 $\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~A}\right|-\left|\mathrm{F}_{2} \mathrm{~A}\right|=2 \mathrm{a}$ ，
又 $\left|F_{1} A\right|=2\left|F_{2} A\right|$ ，
∴ 解得 $\left|F_{1} A\right|=4 a,\left|F_{2} A\right|=2 a,\left|\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c\right.$ ，
则由余弦定理得 $\cos \angle A F_{2} F_{1}=\frac{\left|A F_{2}\right|^{2}+\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}-\left|A F_{1}\right|^{2}}{2\left|A F_{2}\right| \cdot\left|F_{1} F_{2}\right|}=$

$$ \frac{4 a^{2}+4 c^{2}-16 a^{2}}{2 \times 2 a \times 2 c}=\frac{4 c^{2}-12 a^{2}}{8 a c}=\frac{c^{2}-3 a^{2}}{2 a c}=\frac{4 a^{2}-3 a^{2}}{4 a^{2}}=\frac{a^{2}}{4 a^{2}}=\frac{1}{4} . $$

故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力。