2022_北京卷 (2022)
17．如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, A B=B C=2, M, N$ 分别为 $A_{1} B_{1}, A C$ 的中点．
（1）求证：$M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值．
条件①：$A B \perp M N$ ；
条件②：$B M=M N$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
(1) 见解析; (2) 见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）取 $A B$ 的中点为 $K$ ，连接 $M K, N K$ ，可证平面 $M K N / /$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ，从而可证 $M N / /$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ．
（2）选①（2）均可证明 $B B_{1} \perp$ 平面 $A B C$ ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值．
【小问 1 详解】
取 $A B$ 的中点为 $K$ ，连接 $M K, N K$ ，
由三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 可得四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 为平行四边形，
而 $B_{1} M=M A_{1}, B K=K A$ ，则 $M K / / B B_{1}$ ，
而 $M K \not \subset$ 平面 $C B B_{1} C_{1}, B B_{1} \subset$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ，故 $M K / /$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ，
而 $C N=N A, B K=K A$ ，则 $N K / / B C$ ，同理可得 $N K / /$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ，
而 $N K \cap M K=K, N K, M K \subset$ 平面 $M K N$ ，
故平面 $M K N / /$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ，而 $M N \subset$ 平面 $M K N$ ，故 $M N / /$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ，
【小问 2 详解】
因为侧面 $C B B_{1} C_{1}$ 为正方形，故 $C B \perp B B_{1}$ ，
而 $C B \subset$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ，平面 $C B B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，
平面 $C B B_{1} C_{1} \cap$ 平面 $A B B_{1} A_{1}=B B_{1}$ ，故 $C B \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，
因为 $N K / / B C$ ，故 $N K \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，
因为 $A B$ Ì 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，故 $N K \perp A B$ ，
若选①，则 $A B \perp M N$ ，而 $N K \perp A B, N K \cap M N=N$ ，
故 $A B \perp$ 平面 $M N K$ ，而 $M K \subset$ 平面 $M N K$ ，故 $A B \perp M K$ ，
所以 $A B \perp B B_{1}$ ，而 $C B \perp B B_{1}, C B \cap A B=B$ ，故 $B B_{1} \perp$ 平面 $A B C$ ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 $B(0,0,0), A(0,2,0), N(1,1,0), M(0,1,2)$ ，
故 $\overrightarrow{B A}=(0,2,0), \overrightarrow{B N}=(1,1,0), \overrightarrow{B M}=(0,1,2)$ ，
设平面 $B N M$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B N}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B M}=0\end{array}\right.$ ，从而 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\ y+2 z=0\end{array}\right.$ ，取 $z=-1$ ，则 $\vec{n}=(-2,2,-1)$ ，
设直线 $A B$ 与平面 $B N M$ 所成的角为 $\theta$ ，则
$\sin \theta=|\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{A B}\rangle|=\frac{4}{2 \times 3}=\frac{2}{3}$ ．
若选②，因为 $N K / / B C$ ，故 $N K \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，而 $K M \subset$ 平面 $M K N$ ，
故 $N K \perp K M$ ，而 $B_{1} M=B K=1, N K=1$ ，故 $B_{1} M=N K$ ，
而 $B_{1} B=M K=2, M B=M N$ ，故 $\triangle B B_{1} M \cong \triangle M K N$ ，
所以 $\angle B B_{1} M=\angle M K N=90^{\circ}$ ，故 $A_{1} B_{1} \perp B B_{1}$ ，
而 $C B \perp B B_{1}, C B \cap A B=B$ ，故 $B B_{1} \perp$ 平面 $A B C$ ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 $B(0,0,0), A(0,2,0), N(1,1,0), M(0,1,2)$ ，
故 $\overrightarrow{B A}=(0,2,0), \overrightarrow{B N}=(1,1,0), \overrightarrow{B M}=(0,1,2)$ ，
设平面 $B N M$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B N}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B M}=0\end{array}\right.$ 从而 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\ y+2 z=0\end{array}\right.$ ，取 $z=-1$ ，则 $\vec{n}=(-2,2,-1)$ ，
设直线 $A B$ 与平面 $B N M$ 所成的角为 $\theta$ ，则
$\sin \theta=|\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{A B}\rangle|=\frac{4}{2 \times 3}=\frac{2}{3}$ ．