2014_退役省自主命题 (2014·理)
18．（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3 ，从盒中任取 3 张卡片．
（I）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；
（II）$X$ 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望．
（注：若三个数 $a, b, c$ 满足 $a \leq b \leq c$ ，则称 $b$ 为这三个数的中位数）．
【答案】（I）$\frac{5}{84}$（II）详见解析．
## 【解析】
试题分析：（I）从 9 张卡片中任取 3 张，有 $C_{9}^{3}$ 和不同的结果，其中， 3 张卡片上的数字完全相同的有 $C_{4}^{3}+C_{3}^{3}$ ，由于是任取的，所以每个结果出现的可能性是相等的，故可根据古典概型的概率公式求得概率；
（II）由题设随机变量 $X$ 的所有可能取值有 $1,2,3$ ；
$X=1$ 表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是 $(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3)$
$X=2$ 表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是 $(1,2,2),(1,2,3),(2,2,2),(2,2,3)$
$X=3$ 表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是 $(1,3,3),(2,3,3)$
于是可用古典概型的概率公式求出 $X$ 的分布列与数学期望．
试题解析：
解：（I）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
$$ P=\frac{C_{4}^{3}+C_{3}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{84} $$
（II）$X$ 的所有可能值为 $1,2,3$ ，且
$$ P(X=1)=\frac{C_{4}^{2} C_{5}^{1}+C_{4}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{17}{42}, P(X=2)=\frac{C_{3}^{1} C_{4}^{1} C_{2}^{1}+C_{3}^{2} C_{6}^{1}+C_{3}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{43}{84}, P(X=3)=\frac{C_{2}^{2} C_{7}^{1}}{C_{9}^{3}}=\frac{1}{12} $$
故 $X$ 的分布列为
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
|---|
| $P$ | $\frac{17}{42}$ | $\frac{43}{84}$ | $\frac{1}{12}$ |
|---|
从而 $E(X)=1 \times \frac{17}{42}+2 \times \frac{43}{84}+3 \times \frac{1}{12}=\frac{47}{28}$
## 考点：1、组合；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望．