10．（5分）已知正四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点 ，则 AE 、 SD 所成的角的余弦值为（ ）
参考答案
C
（5分）已知正四棱锥 S - ABCD 的侧棱长与底面边长…——2008 高考数学第 10 题答案解析
2008_旧全国 II 卷 (2008·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．
【解答】解：建立如图所示坐标系，
令正四棱锥的棱长为 2 ，则 $\mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{D}(-1,-1,0)$ ，
$S(0,0, \sqrt{2}), E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{SD}}=(-1,-1,-\sqrt{2})$
$\therefore \cos <\overrightarrow{\mathrm{AE}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{SD}}>=\frac{\sqrt{3}}{3}$
故选：C．
【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题．
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_旧全国 II 卷 (2008·理) · 第 10 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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（14分）四棱锥 $P-A B C D$ ，底面为正方形 $A B C D$ ，边长为4，$E$ 为 $A B$ 中点，$P E \perp$平面 $A B C D$ 。
（1）若 $\triangle P A B$ 为等边三角形，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若 $C D$ 的中点为 $F, ~ P F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，求 $P C$ 与 $A D$ 所成角的大小．
【思路分析】①由 $V=\frac{1}{3} P E \cdot S_{\text {正方形 } A B C D}$ ，代入相应数据，进行运算，即可；
②由 $P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，知 $\angle P F E=45^{\circ}$ ，进而有 $P E=F E=4, ~ P B=2 \sqrt{5}$ ，由
$A D / / B C$ ，知 $\angle P C B$ 或其补角即为所求，可证 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，从而有 $B C \perp P B$ ，最后在 Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中，由 $\tan \angle P C B=\frac{P B}{B C}$ ，得解．
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已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．
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如图，正三棱锥 $P-A B C$ 中，侧棱长为 2 ，底面边长为 $\sqrt{3}, M , N$ 分别是 $P B$ 和 $B C$的中点。
（1）求异面直线 $M N$ 与 $A C$ 所成角的大小；
（2）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．