双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 (a>…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】先由点到直线的距离公式求出 $b$ ，设 $\angle P O F_{2}=\theta$ ，由 $\tan \theta=\frac{b}{|O P|}=\frac{b}{a}$ 得到 $|O P|=a$ ， $\left|O F_{2}\right|=c$ 。再由三角形的面积公式得到 $y_{P}$ ，从而得到 $x_{P}$ ，则可得到 $\frac{a}{a^{2}+2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，解出 $a$ ，代入双曲线的方程即可得到答案。

【详解】如图，

因为 $F_{2}(c, 0)$ ，不妨设渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$ ，即 $b x-a y=0$ ，
所以 $\left|P F_{2}\right|=\frac{|b c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{b c}{c}=b$ ，
所以 $b=2$ ．
设 $\angle P O F_{2}=\theta$ ，则 $\tan \theta=\frac{\left|P F_{2}\right|}{|O P|}=\frac{b}{|O P|}=\frac{b}{a}$ ，所以 $|O P|=a$ ，所以 $\left|O F_{2}\right|=c$ ．
因为 $\frac{1}{2} a b=\frac{1}{2} c \cdot y_{P}$ ，所以 $y_{P}=\frac{a b}{c}$ ，所以 $\tan \theta=\frac{y_{P}}{x_{P}}=\frac{\frac{a b}{c}}{x_{P}}=\frac{b}{a}$ ，所以 $x_{P}=\frac{a^{2}}{c}$ ，
所以 $P\left(\frac{a^{2}}{c}, \frac{a b}{c}\right)$ ，
因为 $F_{1}(-c, 0)$ ，
所以 $k_{P F_{1}}=\frac{\frac{a b}{c}}{\frac{a^{2}}{c}+c}=\frac{a b}{a^{2}+c^{2}}=\frac{2 a}{a^{2}+a^{2}+4}=\frac{a}{a^{2}+2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，
所以 $\sqrt{2}\left(a^{2}+2\right)=4 a$ ，解得 $a=\sqrt{2}$ ，
所以双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
故选：D

## 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给

3 分，全部答对的给 5 分．