（5 分）（2009•陕西）设曲线 y=x^ n+1 (n…——2009 高考数学第 12 题答案解析

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】欲判 $\mathrm{x}_{1} \bullet \mathrm{x}_{2} \bullet \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值，只须求出切线与 x 轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在 $x=1$ 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率。从而问题解决。
【解答】解：对 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 求导得 $y^{\prime}=(n+1) x^{n}$ ，令 $\mathrm{x}=1$ 得在点 $(1,1)$ 处的切线的斜率 $\mathrm{k}=\mathrm{n}+1$ ，在点
$(1,1)$ 处的切线方程为 $\mathrm{y}-1=\mathrm{k}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-1\right)=(\mathrm{n}+1)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-1\right)$ ，
不妨设 $\mathrm{y}=0, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}$
则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \mathrm{x}_{3} \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{\mathrm{n}-1}{\mathrm{n}} \times \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ ，
故选B．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．