2016_天津卷 (2016·理)
8．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）
C
【解答】
（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）
A．$\left(0, \frac{2}{3}\right]$
B．$\left[\frac{2}{3}, \frac{3}{4}\right]$
C．$\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right] \cup\left\{\frac{3}{4}\right\}$
D．$\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \cup\left\{\frac{3}{4}\right\}$
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出 a 的大致范围，再根据 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围．
【解答】解： $\mathrm{y}=\log \mathrm{a}(\mathrm{x}+1)+1$ 在 $[0,+\infty)$ 递减，则 $0<\mathrm{a}<1$ ，
函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 R 上单调递减，则则：
$\left\{\begin{array}{l}\frac{3-4 a}{2} \geqslant 0 \\ 0<a<1 \\ 0^{2}+(4 a-3) \cdot 0+3 a \geqslant \log _{a}(0+1)+1\end{array} ;\right.$
解得，$\frac{1}{3} \leqslant a \leqslant \frac{3}{4}$ ；
由图象可知，在 $[0,+\infty)$ 上，$|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 有且仅有一个解，
故在 $(-\infty, 0)$ 上，$|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 同样有且仅有一个解，
当 $3 a>2$ 即 $a>\frac{2}{3}$ 时，联立 $\left|x^{2}+(4 a-3)+3 a\right|=2-x$ ，
则 $\triangle=(4 a-2)^{2}-4(3 a-2)=0$ ，
解得 $\mathrm{a}=\frac{3}{4}$ 或 1 （舍去），
当 $1 \leqslant 3 a \leqslant 2$ 时，由图象可知，符合条件，
综上： a 的取值范围为 $\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right] \cup\left\{\frac{3}{4}\right\}$ ，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题。
设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数）。若存在 $b \in[0,1]$ 使 $f(f(b))=b$成立，则 $a$ 的取值范围是
设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad\left(a \in R, e\right.$ 为自然对数的底数）．若曲线 $y=\sin x$ 上存在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$使得 $f\left(f\left(y_{0}\right)\right)=y_{0}$，则 $a$ 的取值范围是
（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．