（5分）（2016•天津）已知函数 f(x)= array…——2016 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 $R$ 上单调递减，且关于 $x$ 的方程 $|f(x)|=2-\frac{x}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是 s $\left[\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$ ．
【分析】由减函数可知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$ 和 $\mathrm{y}=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 的图象，根据交点个数判断 3 a 与 2 的大小关系，列出不等式组解出。
【解答】解：$\because \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是 R 上的单调递减函数，
$\therefore y=x^{2}+(4 a-3) x+3 a$ 在 $\left(-\infty\right.$ 。，0）上单调递减，$y=\log _{a}(x+1)+1$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，
且 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最小值大于或等于 $f(0)$ ．

$\therefore\left\{\begin{array}{l}\frac{3-4 a}{2} \geqslant 0 \\ 0作出 $\mathrm{y}=|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$ 和 $\mathrm{y}=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 的函数草图如图所示：

$\because|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，
$\therefore 3 a<2$ ，即 $a<\frac{2}{3}$ ．
综上，$\frac{1}{3} \leqslant a<\frac{2}{3}$ ．
故答案为 $\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题。