【解答】
（16分）（2014•江苏）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$，若对任意的正整数 n，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n}=a_{m}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂．
（1）若数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$，证明：$\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是＂ H 数列＂；
（2）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1}=1$，公差 $d<0$，若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$，总存在两个＂$H$ 数列＂$\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$，使得 $a_{n}=b_{n}+c_{n}\left(n \in N^{*}\right.$成立。
考点 数列的应用；等差数列的性质．
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专题 等差数列与等比数列．
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分析（1）利用＂当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$，当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}$＂即可得到 $a_{n}$，再利用＂$H$＂数列的：意义即可得出。
（2）利用等差数列的前 $n$ 项和即可得出 $S_{n}$，对 $\forall n \in N^{*}, ~ \exists m \in N^{*}$ 使 $S_{n}=a_{m}$，取 $n=2$ 和根据 $\mathrm{d}<0$ 即可得出；
③设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公差为 d，构造数列： $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}-(\mathrm{n}-1) \mathrm{a}_{1}=~(2-\mathrm{n}) ~ \mathrm{a}_{1}, ~ \mathrm{c}_{\mathrm{n}}=~(\mathrm{n}-1) \left.a_{1}+d\right)$，可证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列。再利用等差数列的前 $n$ 项和公式及其通项公式、＂$H$＂的意义即可得出。
解答 解：（1）当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$，
：当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}=2$．
当 $n=1$ 时，$S_{1}=a_{1}$。
当 $n \geq 2$ 时，$S_{n}=a_{n+1}$。
∴ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是＂ H ＂数列。
（2）$S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=n+\frac{n(n-1)}{2} d$，
对 $\forall n \in N^{*}, ~ \exists m \in N^{*}$ 使 $S_{n}=a_{m}$，即 $n+\frac{n(n-1)}{2} d=1+(m-1) d$，
取 $n=2$ 时，得 $1+d=(m-1) d$，解得 $m=2+\frac{1}{d}$，
$\because \mathrm{d}<0, \quad \therefore \mathrm{~m}<2$,
又 $m \in N^{*}, \quad \therefore m=1, \quad \therefore d=-1$。
③设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公差为 d，令 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}-(\mathrm{n}-1) \mathrm{a}_{1}=(2-\mathrm{n}) \mathrm{a}_{1}$，
对 $\forall n \in N^{*}, b_{n+1}-b_{n}=-a_{1}$，
$\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=(\mathrm{n}-1) \quad\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{d}\right)$,
对 $\forall n \in N^{*}, c_{n+1}-c_{n}=a_{1}+d$，
则 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$，且数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 和 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列。
数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\mathrm{na}_{1}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}\left(-\mathrm{a}_{1}\right)$，
令 $T_{n}=(2-m) a_{1}$，则 $m=\frac{n(n-3)}{2}+2$。
当 $n=1$ 时，$\quad m=1$；当 $n=2$ 时，$\quad m=1$．
当 $n \geq 3$ 时，由于 $n$ 与 $n-3$ 的奇偶性不同，即 $n ~(n-3) ~$ 为非负偶数，$m \in N^{*}$。
因此对 $\forall n \in N^{*}$，都可找到 $m \in N^{*}$，使 $T_{n}=b_{m}$ 成立，即 $\left\{b_{n}\right\}$ 为 $H$ 数列。
数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{R}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{d}\right)$，
令 $\mathrm{c}_{\mathrm{m}}=(\mathrm{m}-1) \quad\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{d}\right)=\mathrm{R}_{\mathrm{n}}$，则 $\mathrm{m}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}+1$。
$\because$ 对 $\forall \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}, ~ \mathrm{n}(\mathrm{n}-3)$ 为非负偶数，$\therefore \mathrm{m} \in \mathrm{N}^{*}$。
因此对 $\forall n \in N^{*}$，都可找到 $m \in N^{*}$，使 $R_{n}=c_{m}$ 成立，即 $\left\{c_{n}\right\}$ 为 $H$ 数列。
因此命题得证。
点评 本题考查了利用＂当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$，当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}$＂求 $a_{n}$、等差数列的前 $n$ 项和：公式及其通项公式、新定义＂ H ＂的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题。
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4－ 1：几何证明选讲】