20．（本小题满分 16 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n}=a_{m}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂。
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1}=1$，公差 $d<0$。若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$，总存在两个＂$H$ 数列＂$\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$，使得
$a_{n}=b_{n}+c_{n}$
$\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 成立。
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4－ 1：几何证明选讲】