（本小题满分16分） 设 M 为部分正整数组成的集合，数列…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
本小题考查数列的通项与前 $n$ 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分 16 分．
解：（1）由题设知，当 $n \geqslant 2$ 时，$S_{n+1}+S_{n-1}=2\left(S_{n}+S_{1}\right)$ ，即 $\left(S_{n+1}-S_{n}\right)-\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=2 S_{1}$ ．
从而 $a_{n+1}-a_{n}=2 a_{1}=2$ ．又 $a_{2}=2$ ，故当 $n \geqslant 2$ 时，$a_{n}=a_{2}+2(n-2)=2 n-2$ ．
所以 $a_{5}$ 的值为 8 ．
②由题设知，当 $k \in M=\{3,4\}$ 且 $n>k$ 时，$S_{n+4}+S_{n-k}=2 S_{n}+2 S_{k}$ 且 $S_{n+1-k}+S_{n+1-k}=2 S_{n+1}+2 S_{k}$ ，两式相减得 $a_{n+1+k}+a_{n+1-k}=2 a_{n+1}$ ，即 $a_{n+1+k}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n+1-k}$ ．所以当 $n \geqslant 8$ 时，$a_{n-6}$ ， $a_{n-3}, a_{n}, a_{n+3}, a_{n+6}$ 成等差数列，且 $a_{n-6}, a_{n-2}, a_{n+2}, a_{n+6}$ 也成等差数列。
从而当 $n \geqslant 8$ 时，$\quad 2 a_{n}=a_{n+3}+a_{n-3}=a_{n+6}+a_{n-6}$ ，

且 $a_{n+6}+a_{n-6}=a_{n+2}+a_{n-2}$ ．所以当 $n \geqslant 8$ 时， $2 a_{n}=a_{n+2}+a_{n-2}$ ，即 $a_{n+2}-a_{n}=a_{n}-a_{n-2}$ ．于是当 $n \geqslant 9$ 时，$a_{n-3}, a_{n-1}, a_{n+1}, a_{n+3}$ 成等差数列，从而 $a_{n+3}+a_{n-3}=a_{n+1}+a_{n-1}$ ，故由（＊）式知 $2 a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$ ，即 $a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}$ ．当 $n \geqslant 9$ 时，设 $d=a_{n}-a_{n-1}$ ．
当 $2 \leqslant m \leqslant 8$ 时，$m+6 \geqslant 8$ ，从而由（＊）式知 $2 a_{m+6}=a_{m}+a_{m+12}$ ，故 $2 a_{m+7}=a_{m+1}+a_{m+13}$＊从而 $2\left(a_{m+7}-a_{m+6}\right)=a_{m+1}-a_{m}+\left(a_{m+13}-a_{m+12}\right)$ ，于是 $a_{m+1}-a_{m}=2 d-d=d$ ．
因此，$a_{n+1}-a_{n}=d$ 对任意 $n \geqslant 2$ 都成立．又由 $S_{n+k}+S_{n-k}-2 S_{n}=2 S_{k}(k \in\{3,4\})$ 可知 $\left(S_{n+k}-S_{n}\right)-\left(S_{n}-S_{n-k}\right)=2 S_{k}$ ，故 $9 d=2 S_{3}$ 且 $16 d=2 S_{4}$ ．解得 $a_{4}=\frac{7}{2} d$ ，从而 $a_{2}=\frac{3}{2} d$ ， $a_{1}=\frac{d}{2}$ ．因此，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列．由 $a_{1}=1$ 知 $d=2$ ．
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 n-1$ ．

## 数学 II（附加题）