抛物线 C_ 1 : y= 1 2 p x^ 2 (p>0…——2013 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5分）（2013．山东）抛物线 $C_{1}: y=\frac{1}{2 p} x^{2}(p>0)$ 的焦点与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的右焦点的连线交 $C_{1}$ 于第一象限的点 M ．若 $\mathrm{C}_{1}$ 在点 M 处的切线平行于 $\mathrm{C}_{2}$ 的一条渐近线，则 $\mathrm{p}=(\quad)$
A．$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B．$\frac{\sqrt{3}}{8}$
C．$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
D．$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数 $y=\frac{1}{2 p} x^{2}(p>0)$ 在 $x$ 取直线与抛物线交点 $M$ 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值。
解答：解：由 $y=\frac{1}{2 p} x^{2}(p>0)$ ，得 $x^{2}=2 p y(p>0)$ ，所以抛物线的焦点坐标为 $\mathrm{F}\left(0, \frac{\mathrm{p}}{2}\right)$ ．

由 $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ ，得 $a=\sqrt{3}, b=1, c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3+1}=2$ ．
所以双曲线的右焦点为 $(2,0)$ ．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 $\frac{y-0}{\frac{p}{2}-0}=\frac{x-2}{0-2}$ ，
即 $\frac{\mathrm{p}}{2} \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{p}=0$①．
设该直线交抛物线于 $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{0}, \frac{\mathrm{x}_{0}{ }^{2}}{2 \mathrm{p}}\right)$ ，则 $\mathrm{C}_{1}$ 在点 M 处的切线的斜率为 $\frac{\mathrm{x}_{0}}{\mathrm{p}}$ ．
由题意可知 $\frac{\mathrm{x}_{0}}{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，得 $\mathrm{x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{p}$ ，代入M点得 $\mathrm{M}\left(\frac{\sqrt{3} \mathrm{p}}{3}, \frac{\mathrm{p}}{6}\right)$
把M点代入①得：$\frac{\sqrt{3} \mathrm{p}^{2}}{3}+\frac{2}{3} \mathrm{p}-2 \mathrm{p}=0$ ．
解得 $\mathrm{p}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
故选D．
点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题。