（15 分）如图，已知抛物线 x ^ 2 = y，点 A…——2017 高考数学第 21 题答案解析

【分析】（ I ）通过点 P 在抛物线上可设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}\right)$ ，利用斜率公式结合 $-\frac{1}{2}<\mathrm{x}< \frac{3}{2}$ 可得结论；
（II）通过（I）知 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}\right) ,-\frac{1}{2}<\mathrm{x}<\frac{3}{2}$ ，设直线 AP 的斜率为 k ，联立直线 $A P , B P$ 方程可知 $Q$ 点坐标，进而可用 $k$ 表示出 $\overrightarrow{P Q} , \overrightarrow{P A}$ ，计算可知 $|P A| \bullet|P Q|= (1+k)^{3}(1-k)$ ，通过令 $f(x)=(1+x)^{3}(1-x),-1

【解答】解：（I ）由题可知 $P\left(x, x^{2}\right),-\frac{1}{2}所以 $k_{A P}=\frac{x^{2}-\frac{1}{4}}{x+\frac{1}{2}}=x-\frac{1}{2} \in(-1,1)$ ，
故直线 AP 斜率的取值范围是：（ $-1,1$ ）；
（II）由（I）知 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}\right),-\frac{1}{2}<\mathrm{x}<\frac{3}{2}$ ，
所以 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{x}, \frac{1}{4}-\mathrm{x}^{2}\right)$ ，
设直线 $A P$ 的斜率为 $k$ ，则 $A P: y=k x+\frac{1}{2} k+\frac{1}{4}, B P: y=-\frac{1}{k} x+\frac{3}{2 k}+\frac{9}{4}$ ，
联立直线 $A P , B P$ 方程可知 $Q\left(\frac{3+4 k-k^{2}}{2 k^{2}+2}, \frac{9 k^{2}+8 k+1}{4 k^{2}+4}\right)$ ，
故 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left(\frac{1+\mathrm{k}^{-} \mathrm{k}^{2}-\mathrm{k}^{3}}{1+\mathrm{k}^{2}}, \frac{-\mathrm{k}^{4}-\mathrm{k}^{3}+\mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}}{1+\mathrm{k}^{2}}\right)$ ，
又因为 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\left(-1-\mathrm{k},-\mathrm{k}^{2}-\mathrm{k}\right)$ ，
故 $-|P A| \cdot|P Q|=\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P Q}=\frac{(1+k)^{3}(k-1)}{1+k^{2}}+\frac{k^{2}(1+k)^{3}(k-1)}{1+k^{2}}=(1+k)^{3}(k-1)$ ，

所以 $|P A| \cdot|P Q|=(1+k)^{3}(1-k)$ ，
令 $f(x)=(1+x)^{3}(1-x),-1则 $f^{\prime}(x)=(1+x)^{2}(2-4 x)=-2(1+x)^{2}(2 x-1)$ ，
由于当 $-10$ ，当 $\frac{1}{2}故 $f(x)_{\text {max }}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{27}{16}$ ，即 $|P A| \bullet|P Q|$ 的最大值为 $\frac{27}{16}$ ．
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题。