（5 分）（2008 • 四川）已知抛物线 C : y ^…——2008 高考数学第 12 题答案解析

【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得 K 的坐标，设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{0}\right.$ ， $\left.\mathrm{y}_{0}\right)$ ，过 A 点向准线作垂线 AB ，则 $\mathrm{B}\left(-2, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，根据 $|\mathrm{AK}|=\sqrt{2}|\mathrm{AF}|$ 及 $\mathrm{AF}=\mathrm{AB}=\mathrm{x}_{0}- (-2)=x_{0}+2$ ，进而可求得 $A$ 点坐标，进而求得 $\triangle A F K$ 的面积。
【解答】解：∵ 抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$ 的焦点为 $\mathrm{F}(2,0)$ ，准线为 $\mathrm{x}=-2$
$\therefore \mathrm{K}(-2,0)$
设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，过 A 点向准线作垂线 AB ，则 $\mathrm{B}\left(-2, \mathrm{y}_{0}\right)$
$\because|\mathrm{AK}|=\sqrt{2}|\mathrm{AF}|$ ，又 $\mathrm{AF}=\mathrm{AB}=\mathrm{x}_{0}-(-2)=\mathrm{x}_{0}+2$
∴ 由 $B K^{2}=A K^{2}-A B^{2}$ 得 $y_{0}{ }^{2}=\left(x_{0}+2\right)^{2}$ ，即 $8 x_{0}=\left(x_{0}+2\right)^{2}$ ，解得 $A(2, \pm 4)$
$\therefore \triangle \mathrm{AFK}$ 的面积为 $\frac{1}{2}|\mathrm{KF}| \cdot\left|\mathrm{y}_{0}\right|=\frac{1}{2} \times 4 \times 4=8$
故选 B．

【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在 $\triangle \mathrm{ABK}$ 中集中条件求出 $\mathrm{x}_{0}$ 是关键；