已知点 A(2,1) 在双曲线 C: x^ 2 a^ 2…——2022 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）-1 ；
②$\frac{16 \sqrt{2}}{9}$ ．

【解析】

【分析】（1）由点 $A(2,1)$ 在双曲线上可求出 $a$ ，易知直线 $l$ 的斜率存在，设 $l: y=k x+m, P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，再根据 $k_{A P}+k_{B P}=0$ ，即可解出 $l$ 的斜率；
（2）根据直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为 0 可知直线 $A P, A Q$ 的倾斜角互补，再根据 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$ 即可求出直线 $A P, A Q$ 的斜率，再分别联立直线 $A P, A Q$ 与双曲线方程求出点 $P, Q$ 的坐标，即可得到直线 $P Q$ 的方程以及 $P Q$ 的长，由点到直线的距离公式求出点 A 到直线 $P Q$ 的距离，即可得出 $\triangle P A Q$ 的面积．

【小问 1 详解】
因为点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a>1)$ 上，所以 $\frac{4}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}-1}=1$ ，解得 $a^{2}=2$ ，即双曲线 $C: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$

易知直线 $l$ 的斜率存在，设 $l: y=k x+m, P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1\end{array}\right.$ 可得，$\left(1-2 k^{2}\right) x^{2}-4 m k x-2 m^{2}-2=0$ ，
所以，$x_{1}+x_{2}=-\frac{4 m k}{2 k^{2}-1}, x_{1} x_{2}=\frac{2 m^{2}+2}{2 k^{2}-1}$ ，
$\Delta=16 m^{2} k^{2}+4\left(2 m^{2}+2\right)\left(2 k^{2}-1\right)>0 \Rightarrow m^{2}-1+2 k^{2}>0$.
所以由 $k_{A P}+k_{B P}=0$ 可得，$\frac{y_{2}-1}{x_{2}-2}+\frac{y_{1}-1}{x_{1}-2}=0$ ，
即 $\left(x_{1}-2\right)\left(k x_{2}+m-1\right)+\left(x_{2}-2\right)\left(k x_{1}+m-1\right)=0$ ，
即 $2 k x_{1} x_{2}+(m-1-2 k)\left(x_{1}+x_{2}\right)-4(m-1)=0$ ，
所以 $2 k \times \frac{2 m^{2}+2}{2 k^{2}-1}+(m-1-2 k)\left(-\frac{4 m k}{2 k^{2}-1}\right)-4(m-1)=0$ ，
化简得， $8 k^{2}+4 k-4+4 m(k+1)=0$ ，即 $(k+1)(2 k-1+m)=0$ ，
所以 $k=-1$ 或 $m=1-2 k$ ，
当 $m=1-2 k$ 时，直线 $l: y=k x+m=k(x-2)+1$ 过点 $A(2,1)$ ，与题意不符，舍去，
故 $k=-1$ ．
【小问 2 详解】
不妨设直线 $P A, P B$ 的倾斜角为 $\alpha, \beta(\alpha<\beta)$ ，因为 $k_{A P}+k_{B P}=0$ ，所以 $\alpha+\beta=\pi$ ，因为 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$ ，所以 $\tan (\beta-\alpha)=2 \sqrt{2}$ ，即 $\tan 2 \alpha=-2 \sqrt{2}$ ，

即 $\sqrt{2} \tan ^{2} \alpha-\tan \alpha-\sqrt{2}=0$ ，解得 $\tan \alpha=\sqrt{2}$ ，
于是，直线 $P A: y=\sqrt{2}(x-2)+1$ ，直线 $P B: y=-\sqrt{2}(x-2)+1$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}(x-2)+1 \\ \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1\end{array}\right.$ 可得，$\frac{3}{2} x^{2}+2(1-2 \sqrt{2}) x+10-4 \sqrt{2}=0$ ，
因为方程有一个根为 2 ，所以 $x_{P}=\frac{10-4 \sqrt{2}}{3}, y_{P}=\frac{4 \sqrt{2}-5}{3}$ ，
同理可得，$x_{Q}=\frac{10+4 \sqrt{2}}{3}, y_{Q}=\frac{-4 \sqrt{2}-5}{3}$ ．
所以 $P Q: x+y-\frac{5}{3}=0,|P Q|=\frac{16}{3}$ ，
点 A 到直线 $P Q$ 的距离 $d=\frac{\left|2+1-\frac{5}{3}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
故 $\triangle P A Q$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{16}{3} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{16 \sqrt{2}}{9}$ ．