16．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=2 \sin \left(\frac{1}{3} x-\frac{\pi}{6}\right), x \in \mathbf{R}$ ．
（1）求 $f(0)$ 的值；
（2）设 $\alpha, \beta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], f\left(3 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{10}{13}, f(3 \beta+2 \pi)=\frac{6}{5}$ ，求 $\sin (\alpha+\beta)$ 的值．
（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=2 sin…——2011 高考数学第 16 题答案解析
2011_退役省自主命题 (2011·文)
完整解析 · 逐步详解
【解析】①$f(0)=2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-1$
$$ \text { (2) } \begin{aligned} & f\left(3 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)=2 \sin \left[\frac{1}{3}\left(3 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=2 \sin \alpha=\frac{10}{13}, \text { 即 } \sin \alpha=\frac{5}{13} \\ & f(3 \beta+2 \pi)=2 \sin \left[\frac{1}{3}(3 \beta+2 \pi)-\frac{\pi}{6}\right]=2 \sin \left(\beta+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{6}{5}, \text { 即 } \cos \beta=\frac{3}{5} \\ & \because \alpha, \beta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \\ & \therefore \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\frac{12}{13}, \sin \beta=\sqrt{1-\cos ^{2} \beta}=\frac{4}{5} \\ & \therefore \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\frac{5}{13} \times \frac{3}{5}+\frac{12}{13} \times \frac{4}{5}=\frac{63}{65} \end{aligned} $$
17．（本小题满分 13 分）
在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分．用 $x_{n}$ 表示编号为 $n(n=1,2, \cdots, 6)$ 的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下：
| 编号 $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 成绩 $x_{n}$ | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 |
（1）求第 6 位同学的成绩 $x_{6}$ ，及这 6 位同学成绩的标准差 $s$ ；
（2）从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中的概率。
【解析】（1）$\frac{1}{6}\left(70+76+72+70+72+x_{6}\right)=75$ ，解得 $x_{6}=90$
标准差 $s=\sqrt{\frac{1}{6}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{6}-\bar{x}\right)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{6}\left(5^{2}+1^{2}+3^{2}+5^{2}+3^{2}+15^{2}\right)}=7$
（2）前 5 位同学中随机选出的 2 位同学记为 $(a, b), a, b \in\{1,2,3,4,5\}$ 且 $a \neq b$
则基本事件有 $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)$共 10 种
这 5 位同学中，编号为 $1 , 3 , 4 , 5$ 号的同学成绩在区间（68，75）中
设 A 表示随机事件＂从前 5 位同学中随机选出 2 位同学，恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中＂则 A 中的基本事件有 $(1,2) ,(2,3) ,(2,4) ,(2,5)$ 共 4 种，则 $P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
✅ 来源：2011年 · 全国 · 2011_退役省自主命题 (2011·文) · 第 16 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
再练一道 · 同类压轴题
2017 区分题 · 2017_北京卷 (2017·理)
（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y…
2024 区分题 · 2024_新课标 II 卷 (2024)
已知 α 为第一象限角， β 为第三象限角， tan α+tan β=4, tan α tan…
2018 区分题 · 2018_新课标 II 卷 (2018…
（5分）已知 tan (α- 5 π 4 )= 1 5，则 tan α= _ _ _ _ 3…