两角和与差公式　·　历年高考数学真题与解析

13.已知 $\alpha , \beta \in [ 0 , 2 \pi ]$ ,且 $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin ( \alpha - \beta ) , \cos ( \alpha + \beta ) \neq \cos ( \alpha - \beta )$ ，写出满足条件的一组 $\alpha =$ $\beta =$

13．已知 $\alpha$ 为第一象限角，$\beta$ 为第三象限角， $\tan \alpha+\tan \beta=4, \tan \alpha \tan \beta=\sqrt{2}+1$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=$

4．已知 $\cos (\alpha+\beta)=m, \tan \alpha \tan \beta=2$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)=$（ ）

8．已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}$ ，则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$（ ）

9．已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}$ ，则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$（ ）

17．已知在 $\triangle A B C$ 中，$A+B=3 C, 2 \sin (A-C)=\sin B$ ．
（1）求 $\sin A$ ；
②设 $A B=5$ ，求 $A B$ 边上的高．

8．已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}, \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{6}$ ，则 $\cos (2 \alpha+2 \beta)=~(\quad)$ ．

4．已知角 $\alpha$ 满足： $\tan \alpha=3$ ，则 $\operatorname{t} \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6．若 $\sin (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+\beta)=2 \sqrt{2} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \sin \beta$ ，则（ ）

18．在锐角 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b \sin A=\sqrt{3} a$ ．
（I）求角 $B$ ；
（II）求 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围．

18．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $B=150^{\circ}$ ．
（1）若 $a=\sqrt{3} c, b=2 \sqrt{7}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）若 $\sin A+\sqrt{3} \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $C$ ．

5．已知 $\sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=1$ ，则 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=$

9．已知 $2 \tan \theta-\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=7$ ，则 $\tan \theta=$（ ）

14．在 $\mathrm{V} A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=4, B C=3$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，若 $\angle B D C=45^{\circ}$ ，则
$B D=$ $\_\_\_\_$ ； $\cos \angle A B D=$ $\_\_\_\_$ ．

7． $\tan 255^{\circ}=$

10．（5分）若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[0, a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是（）

10．（5分）若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a, a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是（

15．（5分）已知 $\tan \left(\alpha-\frac{5 \pi}{4}\right)=\frac{1}{5}$ ，则 $\tan \alpha=$ $\_\_\_\_$ $\frac{3}{2}$ ．

15．（5分）已知 $\sin \alpha+\cos \beta=1, \cos \alpha+\sin \beta=0$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}$ ．

16．（本小题满分 14 分）
已知 $\alpha, \beta$ 为锐角， $\tan \alpha=\frac{4}{3}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\cos 2 \alpha$ 的值；
（2）求 $\tan (\alpha-\beta)$ 的值．

11．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin B+\sin A(\sin C -\cos \mathrm{C})=0, \mathrm{a}=2, \mathrm{c}=\sqrt{2}$ ，则 $\mathrm{C}=$

12．（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 $y$ 轴对称，若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{7}{9}$ ．

15．（5分）已知 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan \alpha=2$ ，则 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ —• ．

5．（5 分）若 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{6}$ ．则 $\tan \alpha=$ $\_\_\_\_$。

10．（6 分）（2016 • 浙江）已知 $2 \cos ^{2} \mathrm{x}+\sin 2 \mathrm{x}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)+\mathrm{b}(\mathrm{A}>0)$ ，则 $\mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．（14分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ， C 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ．
（1）证明： $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$ ；
（2）若 $\cos \mathrm{B}=\frac{2}{3}$ ，求 $\cos \mathrm{C}$ 的值。

8．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$B=\frac{\pi}{4}, B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，则 $\cos A$ 等于（ ）

9．（5分）若 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

16．（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）已知 $\tan \alpha=2$ ．
（1）求 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值；
（2）求 $\frac{\sin 2 \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\sin \alpha \cos \alpha-\cos 2 \alpha-1}$ 的值．

17.
$A$ 的坐标为 $(4 \sqrt{3}, 1)$ ，将 $O A$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{3}$ 至 $O B$ ，则点 $B$ 的纵坐标为 ）．

2．（5分） $\sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ}-\cos 160^{\circ} \sin 10^{\circ}=$

6．若 $\tan a=\frac{1}{3}, \tan (a+b)=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan b=$

8．（5分）（2015•江苏）已知 $\tan \alpha=-2, \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{7}$ ，则 $\tan \beta$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

9．若 $\tan \alpha=2 \tan \frac{\pi}{5}$ ，则 $\frac{\cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{10}\right)}{\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{5}\right)}=$

14．（5分）函数 $f(x)=\sin (x+2 \phi)-2 \sin \phi \cos (x+\phi)$ 的最大值为

14．（5分）函数 $f(x)=\sin (x+\phi)-2 \sin \phi \cos x$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

15．（本小题满分 14 分）
已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$ 的值；
（2）求 $\cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)$ 的值．

18．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $3 a \cos C=2 \cos A$ ， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ，求 B ．

18．如图 5，在平面四边形 $A B C D$ 中，$A D=1, C D=2, A C=\sqrt{7}$ ．

（1）求 $\cos \angle C A D$ 的值；
②．若 $\cos \angle B A D=-\frac{\sqrt{7}}{14}, \sin \angle C B A=\frac{\sqrt{21}}{6}$ ，求 $B C$ 的长．

11．若 $\cos x \cos y+\sin x \sin y=\frac{1}{2}, \sin 2 x+\sin 2 y=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin (x+y)=$ $\_\_\_\_$

15．（5分）设 $\theta$ 为第二象限角，若 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\sin \theta+\cos \theta=-\frac{\sqrt{10}}{5}-$

16．（2013广东，文 16 ）（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{12}\right), x \in \mathrm{R}$ ．
（1）求 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值；
（2）若 $\cos \quad \theta=\frac{3}{5}, \quad \theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ ，求 $f\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$ ．

17、（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且
$\cos (A-B) \cos B-\sin (A-B) \sin (A+C)=-\frac{3}{5}$.
（I）求 $\sin A$ 的值；
（II）若 $a=4 \sqrt{2}, b=5$，求向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影．

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且
$2 \cos ^{2} \frac{A-B}{2} \cos B-\sin (A-B) \sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$．
（I）求 $\cos A$ 的值；
（II）若 $a=4 \sqrt{2}, b=5$，求向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影．

（6）在 $\triangle A B C$，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c . a \sin B \cos C+c \sin B \cos A=\frac{1}{2} b$，且 $a>b$，则 $\angle B=$

18．（本题满分 14 分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos A=\frac{2}{3}, \quad \sin B=\sqrt{5} \cos C$ ．
（I）求 $\tan C$ 的值；
（II）若 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

（5）$\frac{\sin 47^{\circ}-\sin 17^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}$

5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）

第（5）题四

15．（本小题满分 14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．
（1）若 $\sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)=2 \cos A$ ，求 $A$ 的值；
（2）若 $\cos A=\frac{1}{3}, b=3 c$ ，求 $\sin C$ 的值．

7．已知 $\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2$ ，则 $\frac{\tan x}{\tan 2 x}$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

4．（5分）已知 $\tan \mathrm{a}=4, \cot \beta=\frac{1}{3}$ ，则 $\tan (\mathrm{a}+\beta)=(\quad)$

10．已知 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \alpha=\frac{4}{5} \sqrt{3}$ ，则 $\sin \left(\alpha+\frac{7 \pi}{6}\right)$ 的值是（ ）

17、（本小题满分12分）如图，$\triangle A C D$ 是等边三角形，$\triangle A B C$ 是等腰直角三角形，$\angle A C B=90^{\circ}, ~ B D$交 $A C$ 于 $E, A B=2$ 。（1）求 $\cos \angle C B E$ 的值；（2）求 $A E$ 。

5．（5 分）（2008 • 山东）已知 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \alpha=\frac{4}{5} \sqrt{3}$ ，则 $\sin \left(\alpha+\frac{7 \pi}{6}\right)$ 的值是