如图，直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2022 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①$\sqrt{2}$
（2）$\frac{\sqrt{3}}{2}$

【解析】

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
②由面面垂直的性质及判定可得 $B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，建立空间直角坐标系，利用空间

向量法即可得解．

【小问 1 详解】

在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，设点 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $h$ ，
则 $V_{A-A_{1} B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A_{1} B C} \cdot h=\frac{2 \sqrt{2}}{3} h=V_{A_{1}-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot A_{1} A=\frac{1}{3} V_{A B C-A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{4}{3}$ ，
解得 $h=\sqrt{2}$ ，
所以点 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ；

【小问 2 详解】

取 $A_{1} B$ 的中点 $E$ ，连接 $A E$ ，如图，因为 $A A_{1}=A B$ ，所以 $A E \perp A_{1} B$ ，
又平面 $A_{1} B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，平面 $A_{1} B C \cap$ 平面 $A B B_{1} A_{1}=A_{1} B$ ，
且 $A E \subset$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，所以 $A E \perp$ 平面 $A_{1} B C$ ，
在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$B B_{1} \perp$ 平面 $A B C$ ，
由 $B C \subset$ 平面 $A_{1} B C, B C \subset$ 平面 $A B C$ 可得 $A E \perp B C, B B_{1} \perp B C$ ，
又 $A E, B B_{1} \subset$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ 且相交，所以 $B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，
所以 $B C, B A, B B_{1}$ 两两垂直，以 $B$ 为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由①得 $A E=\sqrt{2}$ ，所以 $A A_{1}=A B=2, A_{1} B=2 \sqrt{2}$ ，所以 $B C=2$ ，
则 $A(0,2,0), A_{1}(0,2,2), B(0,0,0), C(2,0,0)$ ，所以 $A_{1} C$ 的中点 $D(1,1,1)$ ，
则 $\overrightarrow{B D}=(1,1,1), \overrightarrow{B A}=(0,2,0), \overrightarrow{B C}=(2,0,0)$ ，
设平面 $A B D$ 的一个法向量 $\vec{m}=(x, y, z)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{B D}=x+y+z=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{B A}=2 y=0\end{array}\right.$ ，

可取 $\vec{m}=(1,0,-1)$ ，
设平面 $B D C$ 的一个法向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{B D}=a+b+c=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{B C}=2 a=0\end{array}\right.$ ，
可取＇$n=(0,1,-1)$ ，
则 $\cos \langle\vec{m}, \vec{n}\rangle=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ ，
所以二面角 $A-B D-C$ 的正弦值为 $\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．