记 S_ n 是公差不为 0 的等差数列 a_ n 的前…——2021 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$a_{n}=2 n-6$ ；（2）7．

## 【解析】

【分析】①由题意首先求得 $a_{3}$ 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
（2）首先求得前 $n$ 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 $n$ 的最小值．
【详解】①由等差数列的性质可得：$S_{5}=5 a_{3}$ ，则：$a_{3}=5 a_{3}, \therefore a_{3}=0$ ，设等差数列的公差为 $d$ ，从而有：$a_{2} a_{4}=\left(a_{3}-d\right)\left(a_{3}+d\right)=-d^{2}$ ， $S_{4}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\left(a_{3}-2 d\right)+\left(a_{3}-d\right)+a_{3}+\left(a_{3}-d\right)=-2 d$,从而：$-d^{2}=-2 d$ ，由于公差不为零，故：$d=2$ ，

数列的通项公式为：$a_{n}=a_{3}+(n-3) d=2 n-6$ ．
②由数列的通项公式可得：$a_{1}=2-6=-4$ ，则：$S_{n}=n \times(-4)+\frac{n(n-1)}{2} \times 2=n^{2}-6 n$ ，

则不等式 $S_{n}>a_{n}$ 即：$n^{2}-5 n>2 n-6$ ，整理可得：$(n-1)(n-6)>0$ ，
解得：$n<1$ 或 $n>6$ ，又 $n$ 为正整数，故 $n$ 的最小值为 7 ．
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用．