2014_退役省自主命题 (2014·文)
19．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=2$，且 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n}>60 n+800$ ？若存在，求 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】①$a_{n}=2$ 或 $a_{n}=4 n-2$．
## 【解析】
试题分析：（1）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，根扣 $2,2+d \Omega+4 d$ 成管比数列求得 $d$ 的值，从而求得数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；②由①中求得的 $a_{n}$，根据等差数列的求和公式求出 $S_{n}$，解不等式 $S_{n}>60 n+800$ 求出满足条件的的 $n$．
试题解析：（1）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，依题委， $2,2+d, 2+4 d$ 成等比数列，
所以 $(2+d)^{2}=2(2+4 d)$，解得 $d=0$ 或 $d=4$，
当 $d=0$ 时，$a_{n}=2$；当 $d=4$ 时，$a_{n}=2 \div(n-1) \times 4=4 n-2$
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2$ 或 $a_{n}=4 n-2$．
（2）当 $a_{n}=2$ 时，$S_{n}=2 n$，显然 $2 n<60 n+800$，不存在正整数 $n$，使得 $S_{n}>60 n+800$．
当 $a_{n}=4 n-2$ 时，$S_{n}=\frac{n[2+(4 n-2)]}{2}=2 n^{2}$，
令 $2 n^{2}>60 n+800$，即 $n^{2}-30 n-400>0$，
解得 $n>40$ 或 $n<-10$（舍去）
此时存在正整数 $n$，使得 $S_{n}>60 n+800$ 成立，$n$ 脱最小值为 41．
综上所述，当 $a_{n}=2$ 时，不存在正整数 $n$：
当 $a_{n}=4 n-2$ 时，存在正整数 $n$，使得 $S_{2}>60 n+800$ 成立，$n$ 的最小值为 41．
考点：等差数列、等比数列的性质，等差数列的求和公式．