数列 a_ n 中， a_ 1 =2, a_ m+n =a…——2020 高考数学第 6 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】

取 $m=1$ ，可得出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，求得数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 $k$ 的等式，由 $k \in \mathbf{N}^{*}$ 可求得 $k$ 的值．

【详解】在等式 $a_{m+n}=a_{m} a_{n}$ 中，令 $m=1$ ，可得 $a_{n+1}=a_{n} a_{1}=2 a_{n}, \therefore \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=2$ ，

所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 $a_{n}=2 \times 2^{n-1}=2^{n}$ ，
$\therefore a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=\frac{a_{k+1} \cdot\left(1-2^{10}\right)}{1-2}=\frac{2^{k+1} \cdot\left(1-2^{10}\right)}{1-2}=2^{k+1}\left(2^{10}-1\right)=2^{5}\left(2^{10}-1\right)$ ，
$\therefore 2^{k+1}=2^{5}$ ，则 $k+1=5$ ，解得 $k=4$ ．
故选：C．
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题．