2008 高考数学第 21 题答案解析

21．（本小题满分 12 分）
在数列 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 中，$a_{1}=2, b_{1}=4$ ，且 $a_{n}, b_{n}, a_{n+1}$ 成等差数列，$b_{n}, a_{n+1}, b_{n+1}$ 成等比数列 $\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
（I）求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 及 $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，由此猜测 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 的通项公式，并证明你的结论；
（II）证明：$\frac{1}{a_{1}+b_{1}}+\frac{1}{a_{2}+b_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+b_{n}}<\frac{5}{12}$ ．