（本小题满分 12 分） 在数列 |a_ n |, |b_…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力。满分 12 分。
解：
（ I ）由条件得 $2 b_{n}=a_{n}+a_{n+1}, a_{n+1}^{2}=b_{n} b_{n+1}$
由此可得

$$ a_{2}=6, \quad b_{2}=9, \quad a_{3}=12, \quad b_{3}=16, \quad a_{4}=20, \quad b_{4}=25 $$

猜测 $a_{n}=n(n+1), b_{n}=(n+1)^{2}$ ．

用数学归纳法证明：
①当 $n=1$ 时，由上可得结论成立。
②假设当 $n=k$ 时，结论成立，即
$a_{k}=k(k+1), \quad b_{k}=(k+1)^{2}$,
那么当 $n=k+1$ 时，
$a_{k+1}=2 b_{k}-a_{k}=2(k+1)^{2}-k(k+1)=(k+1)(k+2), \quad b_{k+1}=\frac{a_{k+1}^{2}}{b_{k}}=(k+2)^{2}$.
所以当 $n=k+1$ 时，结论也成立．
由①②，可知 $a_{n}=n(n+1), b_{n}(n+1)^{2}$ 对一切正整数都成立。

（II）$\frac{1}{a_{1}+b_{1}}=\frac{1}{6}<\frac{5}{12}$ ．
$n \geqslant 2$ 时，由（I）知 $a_{n}+b_{n}=(n+1)(2 n+1)>2(n+1) n$ 。

故 $\frac{1}{a_{1}+b_{1}}+\frac{1}{a_{2}+b_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+b_{n}}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}\right)$
$=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
$=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}\right)<\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$
综上，原不等式成立．