已知椭圆 C: x^ 2 3 +y^ 2 =1 的左、右焦…——2023 高考数学第 5 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 $\Delta>0$ ，求出 $m$ 范围，再根据三角形面积比得到关于 $m$ 的方程，解出即可．

【详解】将直线 $y=x+m$ 与椭圆联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x+m \\ \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 可得 $4 x^{2}+6 m x+3 m^{2}-3=0$ ，因为直线与椭圆相交于 $A, B$ 点，则 $\Delta=36 m^{2}-4 \times 4\left(3 m^{2}-3\right)>0$ ，解得 $-2<m<2$ ，设 $F_{1}$ 到 $A B$ 的距离 $d_{1}, F_{2}$ 到 $A B$ 距离 $d_{2}$ ，易知 $F_{1}(-\sqrt{2}, 0), F_{2}(\sqrt{2}, 0)$ ，则 $d_{1}=\frac{|-\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}, d_{2}=\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}$ ， $\frac{S_{\triangle F_{1} A B}}{S_{\triangle F_{2} A B}}=\frac{\frac{|-\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}}{\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}}=\frac{|-\sqrt{2}+m|}{|\sqrt{2}+m|}=2$ ，解得 $m=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ 或 $-3 \sqrt{2}$（舍去），

故选：C．