（14 分）直线 y=k x+m(m ≠ 0) 与椭圆W：…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【考点】IR：两点间的距离公式；K4：椭圆的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）先根据条件得出线段 OB 的垂直平分线方程为 $\mathrm{y}=\frac{1}{2}$ ，从而 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标为 $\left( \pm \sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，根据两点间的距离公式即可得出 AC 的长；
（II）欲证明四边形 $O A B C$ 不可能为菱形，只须证明若 $O A=O C$ ，则 $A , C$ 两点的横坐标相等或互为相反数．设 $O A=O C=r$ ，则 $A , C$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 与椭圆 W：$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的交点，从而解得 $\frac{3 x^{2}}{4}=r^{2}-1$ ，则 $A , C$ 两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证．
【解答】解：（I）∵ 点 B 的坐标为 $(0,1)$ ，当四边形 OABC 为菱形时， $\mathrm{AC} \perp \mathrm{OB}$ ，而 $B(0,1), O(0,0)$ ，
∴ 线段 OB 的垂直平分线为 $\mathrm{y}=\frac{1}{2}$ ，
将 $\mathrm{y}=\frac{1}{2}$ 代入椭圆方程得 $\mathrm{x}= \pm \sqrt{3}$ ，
因此 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标为 $\left( \pm \sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，如图，
于是 $\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$ ．
（II）欲证明四边形 OABC 不可能为菱形，利用反证法，假设四边形 OABC 为菱形，则有 $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ ，
设 $O A=O C=r$ ，则 $A , C$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 与椭圆 $W: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的交点，故 $\frac{3 x^{2}}{4}=r^{2}-1, x^{2}=\frac{4}{3}\left(r^{2}-1\right)$ ，则 A、C 两点的横坐标相等或互为相反数．
从而得到点 B 是 W 的顶点。这与题设矛盾。
于是结论得证．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查等价转化思想，属于基础题．