已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求 $C$ 的方程；
（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle A M N$ 的面积的最大值．
【答案】①$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ ；
（2） 12 ．

## 【解析】

## 【分析】

①由题意分别求得 $a, b$ 的值即可确定椭圆方程；
（2）首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 $N$ 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点 $N$ 到直线 $A M$ 的距离即可求得三角形面积的最大值．
【详解】①由题意可知直线 $A M$ 的方程为：$y-3=\frac{1}{2}(x-2)$ ，即 $x-2 y=-4$ ．
当 $y=0$ 时，解得 $x=-4$ ，所以 $a=4$ ，
椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，可得 $\frac{4}{16}+\frac{9}{b^{2}}=1$ ，
解得 $b^{2}=12$ ．
所以 $C$ 的方程：$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ ．
②设与直线 $A M$ 平行的直线方程为：$x-2 y=m$ ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与 $A M$ 距离比较远的直线与椭圆的切点为 $N$ ，此时 $\triangle A M N$ 的面积取得最大值。

联立直线方程 $x-2 y=m$ 与椭圆方程 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ ，
可得： $3(m+2 y)^{2}+4 y^{2}=48$ ，
化简可得： $16 y^{2}+12 m y+3 m^{2}-48=0$ ，
所以 $\Delta=144 m^{2}-4 \times 16\left(3 m^{2}-48\right)=0$ ，即 $m^{2}=64$ ，解得 $m= \pm 8$ ，
与 $A M$ 距离比较远的直线方程：$x-2 y=8$ ，

直线 $A M$ 方程为：$x-2 y=-4$ ，
点 $N$ 到直线 $A M$ 的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：$d=\frac{8+4}{\sqrt{1+4}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，
由两点之间距离公式可得 $|A M|=\sqrt{(2+4)^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{5}$ ．
所以 $\triangle A M N$ 的面积的最大值：$\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{5} \times \frac{12 \sqrt{5}}{5}=18$ ．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
①注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
②强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题。