设 B 是椭圆 C: x^ 2 5 +y^ 2 =1 的上…——2021 高考数学第 11 题答案解析

答案：
A
解析：

**方法一**：由 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1, B(0,1)$

则 $C$ 的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5} \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ．
$|P B|=\sqrt{(\sin \theta-1)^{2}+(\sqrt{5} \cos \theta)^{2}}$
$=\sqrt{-4 \sin ^{2} \theta-2 \sin \theta+6}$

$=\sqrt{-4\left(\sin \theta+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{25}{4}} \geq \frac{5}{2}$.
$\therefore|P B|_{\text {max }}=\frac{5}{2}$ ，故选A．
**方法二**：设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $\frac{x_{0}^{2}}{5}+y_{0}^{2}=1\left(y_{0} \in[-1,1]\right)①, B(0,1)$ ．
因此 $|P B|^{2}=x_{0}^{2}+\left(y_{0}-1\right)^{2}$（2）
将（1）式代入（2）式化简得：
$|P B|^{2}=-4\left(y_{0}+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{25}{4} \geq \frac{25}{4}$ ，当且仅当 $y_{0}=-\frac{1}{4}$ 时 $|P B|$ 的最大值为 $\frac{5}{2}$ ，故选A．