设 B 是椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b…——2021 高考数学第 11 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由 $B(0, b)$ ，根据两点间的距离公式表示出 $|P B|$ ，分类讨论求出 $|P B|$ 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】设 $\boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ ，由 $B(0, b)$ ，因为 $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，所以
$|P B|^{2}=x_{0}^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}=a^{2}\left(1-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\right)+\left(y_{0}-b\right)^{2}=-\frac{c^{2}}{b^{2}}\left(y_{0}+\frac{b^{3}}{c^{2}}\right)^{2}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+a^{2}+b^{2}$,
因为 $-b \leq y_{0} \leq b$ ，当 $-\frac{b^{3}}{c^{2}} \leq-b$ ，即 $b^{2} \geq c^{2}$ 时，$|P B|_{\text {max }}^{2}=4 b^{2}$ ，即 $|P B|_{\text {max }}=2 b$ ，符合题意，由 $b^{2} \geq c^{2}$ 可得 $a^{2} \geq 2 c^{2}$ ，即 $0<e \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

当 $-\frac{b^{3}}{c^{2}}>-b$ ，即 $b^{2}<c^{2}$ 时，$|P B|_{\text {max }}^{2}=\frac{b^{4}}{c^{2}}+a^{2}+b^{2}$ ，即 $\frac{b^{4}}{c^{2}}+a^{2}+b^{2} \leq 4 b^{2}$ ，化简得， $\left(c^{2}-b^{2}\right)^{2} \leq 0$ ，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是如何求出 $|P B|$ 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．