最值与范围问题　·　历年高考数学真题与解析

11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $|P B|$ 的最大值为

11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）

5．已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $\left|M F_{1}\right| \cdot\left|M F_{2}\right|$ 的最大值为（ ）

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求 $C$ 的方程；

（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle A M N$ 的面积的最大值．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求 $C$ 的方程；
（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle A M N$ 的面积的最大值．

11．已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 上任意一点，$Q$ 与 $P$ 关于 $x$ 轴
对称，$F_{1} , F_{2}$ 为椭圆的左右焦点，若有 $\overrightarrow{F_{1} P} \cdot \overrightarrow{F_{2} P} \leq 1$ ，则向量 $\overrightarrow{F_{1} P}$ 与 $\overrightarrow{F_{2} Q}$ 的夹角范围为 $\_\_\_\_$

20．已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，$O$ 为坐标原点
（1）若 $\mathrm{V} P O F_{2}$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$ ，使得 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，且 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的面积等于 16 ，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．

10．（5分）已知 $F$ 为抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $I_{1}, I_{2}$ ，直线 $\mathrm{I}_{1}$ 与 C 交于 A 、 B 两点，直线 $\mathrm{I}_{2}$ 与 C 交于 D 、 E 两点，则 $|\mathrm{AB}|+|\mathrm{DE}|$ 的最小值为

12．（5分）设 $A, B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{m}=1$ 长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle A M B=120^{\circ}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

13．（4分）（2016•浙江）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，若点 $P$ 在双曲线上，且 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 为锐角三角形，则 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|$ 的取值范围是＿$(2 \sqrt{7}, 8)$ 。

10．已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点，点 $A, B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle A B O$ 与 $\triangle A F O$ 面积之和的最小值是（

19．（14 分）已知椭圆 $C: x^{2}+2 y^{2}=4$ ．
（ I ）求椭圆 C 的离心率；
（II）设 O 为原点，若点 A 在直线 $\mathrm{y}=2$ 上，点 B 在椭圆 C 上，且 $\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$ ，求线段 AB 长度的最小值．

9．设 $P, Q$ 分别为 $x^{2}+(y-6)^{2}=2$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$ 上的点，则 $P, Q$ 两点间的最大距离是（ ）

21．（本小题满分 13 分）

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心原点坐标 $O$，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n(m>n)$，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$．记 $\lambda=\frac{m}{n}, \triangle B D M$ 和 $\triangle A B N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$．
（I）当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1}=\lambda S_{2}$，求 $\lambda$ 的值；
（II）当 $\lambda$ 变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线 $l$，使得 $S_{1}=\lambda S_{2}$，并说明理由．

第21影图

19．（本小题满分 14 分）

已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，椭圆 G 上一点到 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的距离之和为 12 。圆 $C_{k}: x^{2}+y^{2}+2 k y-4 y-21=0(k \in R)$ 的圆心为点 $A_{k}$ 。
（1）求椭圆 G 的方程；
（2）求 $\Delta A_{k} F_{1} F_{2}$ 面积；
（3）问是否存在圆 $C_{k}$ 包围椭圆 G ？请说明理由。

（16）以知 F 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ 的左焦点，$A(1,4), P$ 是双曲线右支上的动点，则 $|P F|+|P A|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

10．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（

8．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 上横坐标为 $\frac{3 a}{2}$ 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）