2023_全国乙卷 (2023·文)
18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2}=11, S_{10}=40$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
【答案】①$a_{n}=15-2 n$
②$T_{n}=\left\{\begin{array}{l}14 n-n^{2}, n \leq 7 \\ n^{2}-14 n+98, n \geq 8\end{array}\right.$
## 【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 $a_{1}, d$ ，进而可得结果；
（2）先求 $S_{n}$ ，讨论 $a_{n}$ 的符号去绝对值，结合 $S_{n}$ 运算求解．
## 【小问 1 详解】
设等差数列的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，
由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}a_{2}=a_{1}+d=11 \\ S_{10}=10 a_{1}+\frac{10 \times 9}{2} d=40\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+d=11 \\ 2 a_{1}+9 d=8\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=13 \\ d=-2\end{array}\right.$ ，
所以 $a_{n}=13-2(n-1)=15-2 n$ ，
## 【小问 2 详解】
因为 $S_{n}=\frac{n(13+15-2 n)}{2}=14 n-n^{2}$ ，
令 $a_{n}=15-2 n>0$ ，解得 $n<\frac{15}{2}$ ，且 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，
当 $n \leq 7$ 时，则 $a_{n}>0$ ，可得 $T_{n}=\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=S_{n}=14 n-n^{2}$ ；
当 $n \geq 8$ 时，则 $a_{n}<0$ ，可得 $T_{n}=\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}\right)-\left(a_{8}+\cdots+a_{n}\right)$
$=S_{7}-\left(S_{n}-S_{7}\right)=2 S_{7}-S_{n}=2\left(14 \times 7-7^{2}\right)-\left(14 n-n^{2}\right)=n^{2}-14 n+98$ ；
综上所述：$T_{n}=\left\{\begin{array}{l}14 n-n^{2}, n \leq 7 \\ n^{2}-14 n+98, n \geq 8\end{array}\right.$ ．