2014_退役省自主命题 (2014·文)
9．过双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$ 。若以 $C$ 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 $A , O$ 两点（ $O$ 为坐标原点），，则双曲线 $C$ 的方程为（ ）
A．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
В．$\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1$
C．$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1$
D．$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$
【答案】A
## 【解析】
试题分析：因为 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的渐近线为 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，所以 $A(a, b)$ 或 $A(a,-b)$ ．因此 $\mathrm{OA}=\mathrm{c}=4$ ，从而三角形 OAC为正三角形，即 $\tan 60^{\circ}=\frac{b}{a}, a=2, b=2 \sqrt{3}$ ，双 $\mathrm{F}^{-1} C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ ．
## 考点：双曲线的渐近线