正方形 A B C D 的边长是 2, E 是 A B 的…——2023 高考数学第 6 题答案解析

【答案】B
【解析】
**方法一**：以 $\{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\}$ 为基底向量表示 $\stackrel{\text { und }}{E C}, \mathbf{E D U}$ ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 $\cos \angle D E C$ ，进而根据数量积的定义运算求解．
**方法一**：以 $\{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\}$ 为基底向量，可知 $|\stackrel{\text { um }}{A B}|=|\stackrel{\text { unu }}{A D}|=2, \stackrel{\text { un }}{A B} \cdot A D=0$ ，

$\stackrel{\text { und }}{\text { 所以 }} \stackrel{\text { und }}{E C} \cdot\left(\frac{1}{2} \stackrel{\text { un }}{A B}+\stackrel{\text { un }}{A D}\right) \cdot\left(-\frac{1}{2} \stackrel{\text { un }}{A B}+\stackrel{\text { un }}{A D}\right)=-\frac{1}{4} \stackrel{\ln _{2}}{A B}+\stackrel{\operatorname{lnn}_{2}}{A D}=-1+4=3$ ；
**方法二**：如图，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 $E(1,0), C(2,2), D(0,2)$ ，可得 $\underset{\text { rum }}{E} C=(1,2), \stackrel{\text { unu }}{E D}=(-1,2)$ ，
所以 $\stackrel{\text { unu }}{E C} \cdot \stackrel{\text { unu }}{E C}=-1+4=3$ ；

**方法三**：由题意可得：$E D=E C=\sqrt{5}, C D=2$ ，

在 $\triangle C D E$ 中，由余弦定理可得 $\cos \angle D E C=\frac{D E^{2}+C E^{2}-D C^{2}}{2 D E \cdot C E}=\frac{5+5-4}{2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}}=\frac{3}{5}$ ，
$\stackrel{\text { una un }}{\text { 所以 }} \underset{E C}{\text { und }} \cdot|\stackrel{\text { unn }}{E C}||\stackrel{\text { und }}{E D}| \cos \angle D E C=\sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \frac{3}{5}=3$ ．
故选：B．