在 A B C 中， A C=3, B C=4, C=90…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 $P(\cos \theta, \sin \theta)$ ，表示出 $\overrightarrow{P A}, \overrightarrow{P B}$ ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 $C(0,0), A(3,0), B(0,4)$ ，

因为 $P C=1$ ，所以 $P$ 在以 $C$ 为圆心， 1 为半径的圆上运动，
设 $P(\cos \theta, \sin \theta), \theta \in[0,2 \pi]$ ，
所以 $\overrightarrow{P A}=(3-\cos \theta,-\sin \theta), \overrightarrow{P B}=(-\cos \theta, 4-\sin \theta)$ ，
所以 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=(-\cos \theta) \times(3-\cos \theta)+(4-\sin \theta) \times(-\sin \theta)$
$=\cos ^{2} \theta-3 \cos \theta-4 \sin \theta+\sin ^{2} \theta$
$=1-3 \cos \theta-4 \sin \theta$
$=1-5 \sin (\theta+\varphi)$ ，其中 $\sin \varphi=\frac{3}{5}, \cos \varphi=\frac{4}{5}$ ，
因为 $-1 \leq \sin (\theta+\varphi) \leq 1$ ，所以 $-4 \leq 1-5 \sin (\theta+\varphi) \leq 6$ ，即 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B} \in[-4,6]$ ；
故选：D

## 第二部分（非选择题 共110分）