在（1） a c= 3，② c sin A=3，③ c=…——2020 高考数学第 17 题答案解析

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ 及已知条件 $\sin A = \sqrt{3} \sin B$，可得边长关系 $a = \sqrt{3} b$。

在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，将 $a = \sqrt{3} b$ 和 $C = \frac{\pi}{6}$ 代入：
$$ c^2 = (\sqrt{3}b)^2 + b^2 - 2(\sqrt{3}b)(b) \cos \frac{\pi}{6} $$
$$ c^2 = 3b^2 + b^2 - 2\sqrt{3}b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ c^2 = 4b^2 - 3b^2 = b^2 $$
因为 $b > 0, c > 0$，所以 $c = b$。
此时三角形三边关系为 $a = \sqrt{3}b, b = b, c = b$，即 $a = \sqrt{3}c, b = c$。

下面分别讨论所选条件：

**若选择条件①：$ac = \sqrt{3}$**
将 $a = \sqrt{3}c$ 代入条件式：
$$ (\sqrt{3}c) \cdot c = \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3}c^2 = \sqrt{3} \implies c^2 = 1 $$
解得 $c = 1$。
此时 $a=\sqrt{3}, b=1, c=1$，满足三角形两边之和大于第三边（$1+1>\sqrt{3}$），故三角形存在，且 $c=1$。

**若选择条件②：$c \sin A = 3$**
首先求 $\sin A$。由余弦定理求 $\cos A$：
$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{c^2 + c^2 - (\sqrt{3}c)^2}{2c \cdot c} = \frac{2c^2 - 3c^2}{2c^2} = -\frac{1}{2} $$
因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
（或者直接由 $a=\sqrt{3}b, b=c$ 知 $a:b:c = \sqrt{3}:1:1$，这是顶角为 $120^\circ$ 的等腰三角形，故 $A = \frac{2\pi}{3}$，$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$）。
代入条件式：
$$ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 $$
解得 $c = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。
故三角形存在，且 $c = 2\sqrt{3}$。

**若选择条件③：$c = \sqrt{3} b$**
由前述推导已知，在满足题目基本条件下必然有 $c = b$。
若同时满足条件③ $c = \sqrt{3} b$，则需 $b = \sqrt{3} b$。
因为 $b > 0$，这导致 $1 = \sqrt{3}$，显然矛盾。
故满足该条件的三角形不存在。