（本小题满分 13 分） 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设…——2013 高考数学第 16 题答案解析

［答案］（I）由已知得：小明中奖的概率为 $\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为 $\frac{2}{5}$，两人中奖与否互不影响，记＂这 2 人的累计得分 $X \leq 3$＂的事件为 A，则 A 事件的对立事件为＂$X=5$＂，
$\because P(X=5)=\frac{2}{3} \times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}, \quad \therefore P(A)=1-P(X=5)=\frac{11}{15}$

∴ 这两人的累计得分 $X \leq 3$ 的概率为 $\frac{11}{15}$．
（II）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的㐸数为 $X_{1}$，都选择方案乙抽奖中奖的次数为 $X_{2}$，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 $E\left(2 X_{1}\right)$，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为
$E\left(3 X_{2}\right)$

由已知：$X_{1} \sim B\left(2, \frac{2}{3}\right), X_{2} \sim B\left(2, \frac{2}{5}\right)$
$\therefore E\left(X_{1}\right)=2 \times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}, E\left(X_{2}\right)=2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$
$\therefore E\left(2 X_{1}\right)=2 E\left(X_{1}\right)=\frac{8}{3}, \quad E\left(3 X_{2}\right)=3 E\left(X_{2}\right)=\frac{12}{5}$
$\because E\left(2 X_{1}\right)>E\left(3 X_{2}\right)$
∴ 他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大。
［解析］对于概率应用的考查就注重理解题意，方法选择要恰当，比如用对立事件的方向就可以大大減少计算量。再有，注意甄别事件是否为二项分布或超几何分布也会给计算带来方便。
［ 考点定位］本题主要考查古典概型、离散型随机变更的分布列、数学期望等基础知识。属容易题。