（12 分）（2008 · 四川）设进入某商场的每一位顾客…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差。
【专题】计算题．
【分析】①进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的 1 位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的 1 位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论。
②进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解。
③由①、②的结论，我们列出 $\xi$ 的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望。
【解答】解：记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品，
记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品，
记 C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记 D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（I） $\mathrm{C}=\mathrm{A} \cdot \overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{A}} \cdot \mathrm{B}$
$P(C)=P(A \cdot \bar{B}+\bar{A} \cdot B)$
$=P(A \cdot \bar{B})+P(\bar{A} \cdot B)$
$=P(A) \cdot P(\bar{B})+P(A) \cdot P(\bar{B})$
$=0.5 \times 0.4+0.5 \times 0.6=0.5$
（II）$\overline{\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}} \cdot \overline{\mathrm{B}}$
$P(\bar{D})=P(\bar{A} \cdot \bar{B})$
$=P(\overline{\mathrm{~A}}) \cdot P(\overline{\mathrm{~B}})$
$=0.5 \times 0.4$
$=0.2$
$\therefore P(D)=1-P(\bar{D})=0.8$
（III）$\xi \sim \mathrm{B}(3,0.8)$ ，
故 $\xi$ 的分布列 $\mathrm{P}(\xi=0)=0.2^{3}=0.008$
$\mathrm{P}(\xi=1)=\mathrm{C}_{3}{ }^{1} \times 0.8 \times 0.2^{2}=0.096$
$\mathrm{P}(\xi=2)=\mathrm{C}_{3}{ }^{2} \times 0.8^{2} \times 0.2=0.384$
$\mathrm{P}(\xi=3)=0.8^{3}=0.512$
所以 $\mathrm{E} \xi=3 \times 0.8=2.4$
【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于＂至少＂常从反面入手常可起到简化的作用；