（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差。

【专题】11：计算题．
【分析】①由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10000 人中出险的人数为 $\xi$ ，由题意知 $\xi$ 服从二项分布一投保人在一年度内出险的对立事件是没有一个人出险。
②写出本险种的收入和支出，表示出它的盈利期望，根据为保证盈利的期望不小于 0 ，列出不等式，解出每位投保人应交纳的最低保费．

【解答】解：由题意知
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，
记投保的 10000 人中出险的人数为 $\xi$ ，
由题意知 $\xi \sim B\left(10^{4}, p\right)$ ．
（I）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付 10000 元赔偿金，
则 $\overline{\mathrm{A}}$ 发生当且仅当 $\xi=0$ ，
$P(A)=1-P(\bar{A})=1-P(\xi=0)=1-(1-p)^{104}$,
又 $P(A)=1-0.999^{104}$ ，
故 $\mathrm{p}=0.001$ ．
（II）该险种总收入为 10000 a 元，支出是赔偿金总额与成本的和。

支出 $10000 \xi+50000$ ，
盈利 $\eta=10000 a-(10000 ξ+50000)$ ，
盈利的期望为 $E \eta=10000 a-10000 E \xi-50000$ ，
由 $\xi \sim B\left(10^{4}, 10^{-3}\right)$ 知，
$E \xi=10000 \times 10^{-3}$,
$E \eta=10^{4} a-10^{4} E \xi-5 \times 10^{4}=10^{4} a-10^{4} \times 10^{4} \times 10^{-3}-5 \times 10^{4}$.
$E n \geq 0 \Leftrightarrow 10^{4} a-10^{4} \times 10-5 \times 10^{4} \geq 0 \Leftrightarrow a-10-5 \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 15$（元）．
∴ 每位投保人应交纳的最低保费为 15 元．
【点评】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算 ，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多。