（本小题满分 12 分） A B C 的内角 A, B,…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；②$\frac{1}{2}$．

## 【解析】

试题分析：（1）因为 $a, b, c$ 成等差数列，所以 $a+c=2 b$，再由三角形正弦定理得 $\sin A+\sin C=2 \sin B$，又在 $\triangle A B C$ 中，有 $B=\pi-(A+B)$，所以 $\sin B=\sin [\pi-(A+C)]=\sin (A+C)$，最后得： $\sin A+\sin C=2 \sin (A+C)$，即得证；
（2）因为 $a, b, c$ 成等比数列，所以 $b^{2}=2 a c$，由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}-a c}{2 a c} =\frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c}-\frac{1}{2}$，根据基本不等式 $a^{2}+c^{2} \geq 2 a c$（当且仅当 $a=c$ 时等号成立）得 $\frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c} \geq 1$（当且仅当 $a=c$

时等号成立），即得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c}-\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$，所以 $\cos B$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$
试题解析：（1）$\because a, b, c$ 成等差数列
$\therefore a+c=2 b$
由正弦定理得 $\sin A+\sin C=2 \sin B$
$\because \sin B=\sin [\pi-(A+C)]=\sin (A+C)$
$\therefore \sin A+\sin C=2 \sin (A+C)$
②$\because a, b, c$ 成等比数列
$\therefore b^{2}=2 a c$

由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}-a c}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c}-\frac{1}{2}$

$\because a^{2}+c^{2} \geq 2 a c$（当且仅当 $a=c$ 时等号成立）
$\therefore \frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c} \geq 1$（当且仅当 $a=c$ 时等号成立）
$\therefore \frac{a^{2}+c^{2}}{2 a c}-\frac{1}{2} \geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（当且仅当 $a=c$ 时等号成立）
即 $\cos B \geq \frac{1}{2}$
所以 $\cos B$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$
考点：正弦定理；余弦定理；基本不等式．