已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{3} \pi$
【解析】

【分析】

将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值．
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中 $B C=2, A B=A C=3$ ，且点 $M$ 为 $B C$ 边上的中点，

设内切圆的圆心为 $O$ ，

由于 $A M=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2 \sqrt{2}$ ，故 $S_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}$ ，
设内切圆半径为 $r$ ，则：
$S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A O B}+S_{\triangle B O C}+S_{\triangle A O C}=\frac{1}{2} \times A B \times r+\frac{1}{2} \times B C \times r+\frac{1}{2} \times A C \times r$
$=\frac{1}{2} \times(3+3+2) \times r=2 \sqrt{2}$ ，
解得：$r=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其体积：$V=\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ ．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ ．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体 ，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．