2013 全国高考数学 2013_退役省自主命题 (2013·文) 第 20 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20．（本小题满分 13 分）
已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点。
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a, b$。当 $a b$ 最大时，求直线 $l$ 的方程。

Accepted Answer

（I）$F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$，左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点，即左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的重点关于直线的对称点即为圆心；设圆心的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}ight)$，有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{y_{0}}{x_{0}}=1 \ \frac{x_{0}}{2}+\frac{y_{0}}{2}-2=0\end{array}ight.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=2 \ y_{0}=2\end{array}ight.$，所以圆的方程为 $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4$； （II）依题意，设直线的方程为 $x=m y+2$，则圆心到直线的距离 $d=\frac{|2 m|}{\sqrt{1+m^{2}}}$，所以 $b=2 \sqrt{2^{2}-d^{2}}=\frac{4}{\sqrt{1+m^{2}}}$，由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+1 \ \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1\end{array}ight.$ 得 $\left(m^{2}+5ight) y^{2}+4 m y-1=0$，设 1 与 E 的两个交点坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}ight),\left(x_{2}, y_{2}ight)$，则 $y_{1}+y_{2}=\frac{-4 m}{m^{2}+5}, y_{1} y_{2}=-\frac{1}{m^{2}+5}$，所以 $a=\sqrt{1+m^{2}}\left|y_{1}-y_{2}ight|=\frac{2 \sqrt{5}\left(m^{2}+1ight)}{m^{2}+5}$，从而 $a b=\frac{8 \sqrt{5} \sqrt{\left(m^{2}+1ight)}}{m^{2}+5}=\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{m^{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{m^{2}+1}}} \leq 2 \sqrt{5}$，当 且仅当 $\sqrt{m^{2}+1}=\frac{4}{\sqrt{m^{2}+1}}$ 时等号成立，即 $m= \pm \sqrt{3}$，故直线方程为 $x-\sqrt{3} y-2=0$ 或 $x+\sqrt{3} y-2=0$

2013 高考数学第 20 题答案解析

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