（本小题满分 13 分） 已知 F_ 1 , F_ 2 分…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I）$F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$，左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点，即左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的重点关于直线的对称点即为圆心；设圆心的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$，有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{y_{0}}{x_{0}}=1 \\ \frac{x_{0}}{2}+\frac{y_{0}}{2}-2=0\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=2 \\ y_{0}=2\end{array}\right.$，所以圆的方程为 $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4$；
（II）依题意，设直线的方程为 $x=m y+2$，则圆心到直线的距离 $d=\frac{|2 m|}{\sqrt{1+m^{2}}}$，所以 $b=2 \sqrt{2^{2}-d^{2}}=\frac{4}{\sqrt{1+m^{2}}}$，由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+1 \\ \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1\end{array}\right.$ 得 $\left(m^{2}+5\right) y^{2}+4 m y-1=0$，设 1 与 E 的两个交点坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$，则 $y_{1}+y_{2}=\frac{-4 m}{m^{2}+5}, y_{1} y_{2}=-\frac{1}{m^{2}+5}$，所以

$a=\sqrt{1+m^{2}}\left|y_{1}-y_{2}\right|=\frac{2 \sqrt{5}\left(m^{2}+1\right)}{m^{2}+5}$，从而 $a b=\frac{8 \sqrt{5} \sqrt{\left(m^{2}+1\right)}}{m^{2}+5}=\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{m^{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{m^{2}+1}}} \leq 2 \sqrt{5}$，当
且仅当 $\sqrt{m^{2}+1}=\frac{4}{\sqrt{m^{2}+1}}$ 时等号成立，即 $m= \pm \sqrt{3}$，故直线方程为 $x-\sqrt{3} y-2=0$ 或
$x+\sqrt{3} y-2=0$.
【解析】（1）利用点关于直线的对称确定圆心，进而确定半径；（2）联立直线与椭圆的方程求出弦长，再使用基本不等式求出最小值的时候直线的情况。

【考点定位】本题考查点的对称性、直线与椭圆的基本关系、弦长公式，考查学生的化归与转化思想以及运算化简能力。