（12分）在直角坐标系 x O y 中，曲线 y=x^ 2…——2017 高考数学第 20 题答案解析

【考点】 KJ ：圆与圆锥曲线的综合．
【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆．
【分析】①设曲线 $y=x^{2}+m x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A\left(x_{1}, 0\right), B\left(x_{2}, 0\right)$ ，运用韦达定理，再假设 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ，运用直线的斜率之积为 -1 ，即可判断是否存在这样的情况；
②设过 $A , B , C$ 三点的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 ~\left(D^{2}+E^{2}-4 F>0\right) ~$ ，由题意可得 $D=m, F=-2$ ，代入 $(0,1)$ ，可得 $E=1$ ，再令 $x=0$ ，即可得到圆在 $y$ 轴的交点，进而得到弦长为定值．

【解答】解：（1）曲线 $y=x^{2}+m x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，

可设 $A\left(x_{1}, 0\right), B\left(x_{2}, 0\right)$ ，
由韦达定理可得 $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-2$ ，
若 $A C \perp B C$ ，则 $k_{A C} \bullet k_{B C}=-1$ ，
即有 $\frac{1-0}{0-x_{1}} \cdot \frac{1-0}{0-x_{2}}=-1$ ，
即为 $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-1$ 这与 $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-2$ 矛盾，
故不出现 $A C \perp B C$ 的情况；
（2）证明：设过 $A , B , C$ 三点的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 ~\left(D^{2}+E^{2}-4 F>0\right)$

由题意可得 $y=0$ 时，$x^{2}+D x+F=0$ 与 $x^{2}+m x-2=0$ 等价，
可得 $D=m, F=-2$ ，
圆的方程即为 $x^{2}+y^{2}+m x+E y-2=0$ ，
由圆过 $C(0,1)$, 可得 $0+1+0+E-2=0$ ，可得 $E=1$ ，
则圆的方程即为 $x^{2}+y^{2}+m x+y-2=0$ ，
另解：设过 $A , B , C$ 三点的圆在 $y$ 轴上的交点为 $H(0, d)$ ，
则由相交弦定理可得 $|\mathrm{OA}| \cdot|\mathrm{OB}|=|\mathrm{OC}| \cdot|\mathrm{OH}|$ ，
即有 $2=|\mathrm{OH}|$ ，
再令 $x=0$ ，可得 $y^{2}+y-2=0$ ，
解得 $\mathrm{y}=1$ 或 -2 。
即有圆与 y 轴的交点为 $(0,1),(0,-2)$ ，
则过 $A , B , C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值 3 ．
【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．