如图，已知点 F(1,0) 为抛物线 y^ 2 =2 p…——2019 高考数学第 21 题答案解析

【答案】① $1, x=-1 ;(2) 1+\frac{\sqrt{3}}{2}, G(2,0)$ ．
【解析】
【分析】

①由焦点坐标确定 $p$ 的值和准线方程即可；
②设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值和点 $G$ 的坐标．

【详解】①由题意可得 $\frac{p}{2}=1$ ，则 $p=2,2 p=4$ ，抛物线方程为 $y^{2}=4 x$ ，准线方程为 $x=-1$ ．
②设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
设直线 $A B$ 的方程为 $y=k(x-1), k>0$ ，与抛物线方程 $y^{2}=4 x$ 联立可得：
$k^{2} x^{2}-\left(2 k^{2}+4\right) x+k^{2}=0$ ，故：$x_{2}+x_{2}=2+\frac{4}{k^{2}}, x_{2} x_{2}=1$ ，
$y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}-2\right)=\frac{4}{k}, y_{1} y_{2}=-\left(\sqrt{4 x_{1}}\right) \times\left(\sqrt{4 x_{2}}\right)=-4$ ，
设点 $C$ 的坐标为 $C\left(x_{3}, y_{3}\right)$ ，由重心坐标公式可得：
$x_{G}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}=\frac{1}{3}\left(2+\frac{4}{k^{2}}+x_{3}\right), \quad y_{G}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}=\frac{1}{3}\left(\frac{4}{k}+y_{3}\right)$ ，
令 $y_{G}=0$ 可得：$y_{3}=-\frac{4}{k}$ ，则 $x_{3}=\frac{y_{3}^{2}}{4}=\frac{4}{k^{2}}$ 。即 $x_{G}=\frac{1}{3}\left(2+\frac{4}{k^{2}}+\frac{4}{k^{2}}\right)=\frac{1}{3}\left(2+\frac{8}{k^{2}}\right)$ ，
由斜率公式可得：$k_{A C}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{\frac{y_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{3}^{2}}{4}}=\frac{4}{y_{1}+y_{3}}$ ，
直线 $A C$ 的方程为：$y-y_{3}=\frac{4}{y_{1}+y_{3}}\left(x-x_{3}\right)$ ，
令 $y=0$ 可得：$x_{Q}=x_{3}+\frac{-y_{3}\left(y_{1}+y_{3}\right)}{4}=\frac{y_{3}^{2}}{4}+\frac{-y_{3}\left(y_{1}+y_{3}\right)}{4}=-\frac{y_{1} y_{3}}{4}$ ，
故 $S_{1}=\frac{1}{2} \times\left(x_{G}-x_{F}\right) \times y_{1}=\frac{1}{2} \times\left[\frac{1}{3}\left(2+\frac{8}{k^{2}}\right)-1\right] \times y_{1}=\frac{y_{1}}{2} \times\left(\frac{8}{3 k^{2}}-\frac{1}{3}\right)$ ，
且 $S_{2}=\frac{1}{2} \times\left(x_{Q}-x_{G}\right) \times\left(-y_{3}\right)=-\frac{y_{3}}{2}\left[-\frac{y_{1} y_{3}}{4}-\frac{1}{3}\left(2+\frac{8}{k^{2}}\right)\right]$ ，
由于 $y_{3}=-\frac{4}{k}$ ，代入上式可得：$S_{2}=\frac{2}{k}\left(\frac{y_{1}}{k}-\frac{2}{3}-\frac{8}{3 k^{2}}\right)$ ，

由 $y_{1}+y_{2}=\frac{4}{k}, y_{1} y_{2}=-4$ 可得 $y_{1}-\frac{4}{y_{1}}=\frac{4}{k}$ ，则 $k=\frac{4 y_{1}}{y_{1}^{2}-4}$ ，
则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{y_{1}}{2} \times\left(\frac{8}{3 k^{2}}-\frac{1}{3}\right)}{\frac{2}{k}\left(\frac{y_{1}}{k}-\frac{2}{3}-\frac{8}{3 k^{2}}\right)}=\frac{2 y_{1}^{2}\left(y_{1}^{2}-2\right)}{\left(y_{1}^{2}-4\right)\left(y_{1}^{2}+4\right)}=2-\frac{4}{\left(y_{1}^{2}-8\right)+\frac{48}{y_{1}^{2}-8}+16}$
$\geq 2-\frac{4}{2 \sqrt{\left(y_{1}^{2}-8\right) \times \frac{48}{y_{1}^{2}-8}}+16}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
当且仅当 $y_{1}^{2}-8=\frac{48}{y_{1}^{2}-8}$ ，即 $y_{1}^{2}=8+4 \sqrt{3}, y_{1}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ 时等号成立．
此时 $k=\frac{4 y_{1}}{y_{1}^{2}-4}=\sqrt{2}, x_{G}=\frac{1}{3}\left(2+\frac{8}{k^{2}}\right)=2$ ，则点 $G$ 的坐标为 $G(2,0)$ ．
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．