（13 分）已知 a_ n 是等差数列， b_ n 是等比…——2016 高考数学第 15 题答案解析

【考点】 8 M ：等差数列与等比数列的综合．
【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】①设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，运用通项公式可得 $q=3, d=2$ ，进而得到所求通项公式；
（2）求得 $c_{n}=a_{n}+b_{n}=2 n-1+3^{n-1}$ ，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

【解答】解：（1）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，
$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，
由 $\mathrm{b}_{2}=3, \mathrm{~b}_{3}=9$ ，可得 $\mathrm{q}=\frac{\mathrm{b}_{3}}{\mathrm{~b}_{2}}=3$ ，
$\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{2} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-2}=3 \bullet 3^{\mathrm{n}-2}=3^{\mathrm{n}-1} ;$
即有 $a_{1}=b_{1}=1, a_{14}=b_{4}=27$ ，
则 $\mathrm{d}=\frac{\mathrm{a}_{14}-\mathrm{a}_{1}}{13}=2$ ，
则 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}=1+2(\mathrm{n}-1)=2 \mathrm{n}-1$ ；
②$c_{n}=a_{n}+b_{n}=2 n-1+3^{n-1}$ ，
则数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为

$(1+3+\ldots+(2 n-1))+\left(1+3+9+\ldots+3^{n-1}\right)=\frac{1}{2} n \cdot 2 n+\frac{1-3^{n}}{1-3} =n^{2}+\frac{3^{n}-1}{2}$ ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．