2023_北京卷 (2023)
14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的＂环权＂．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1}=1, a_{5}=12, a_{9}=192$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ；数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 所有项的和为
$\_\_\_\_$ ．
(1) 48; (2) 384
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】
①． 48
②． 384
【解析】
**方法一**：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解 $d, q$ ，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求 $a_{7}, a_{3}$ ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解．
**方法一**：设前 3 项的公差为 $d$ ，后 7 项公比为 $q>0$ ，
则 $q^{4}=\frac{a_{9}}{a_{5}}=\frac{192}{12}=16$ ，且 $q>0$ ，可得 $q=2$ ，
则 $a_{3}=1+2 d=\frac{a_{5}}{q^{2}}$ ，即 $1+2 d=3$ ，可得 $d=1$ ，
空 1：可得 $a_{3}=3, a_{7}=a_{3} q^{4}=48$ ，
空 2：$a_{1}+a_{2}+\mathrm{L}+a_{9}=1+2+3+3 \times 2+\cdots+3 \times 2^{6}=3+\frac{3\left(1-2^{7}\right)}{1-2}=384$
**方法二**：空 1：因为 $\left\{a_{n}\right\}, 3 \leq n \leq 7$ 为等比数列，则 $a_{7}^{2}=a_{5} a_{9}=12 \times 192=48^{2}$ ，
且 $a_{n}>0$ ，所以 $a_{7}=48$ ；
又因为 $a_{5}^{2}=a_{3} a_{7}$ ，则 $a_{3}=\frac{a_{5}^{2}}{a_{7}}=3$ ；
空 2：设后 7 项公比为 $q>0$ ，则 $q^{2}=\frac{a_{5}}{a_{3}}=4$ ，解得 $q=2$ ，
可得 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{3\left(a_{1}+a_{3}\right)}{2}=6, a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}=\frac{a_{3}-a_{9} q}{1-q}=\frac{3-192 \times 2}{1-2}=381$ ，
所以 $a_{1}+a_{2}+\mathrm{L}+a_{9}=6+381-a_{3}=384$ ．
故答案为：48；384．