等差数列与等比数列综合应用　·　历年高考数学真题与解析

14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的＂环权＂．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1}=1, a_{5}=12, a_{9}=192$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ；数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 所有项的和为
$\_\_\_\_$ ．

17．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且 $a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=b_{4}-a_{4}$ ．
（1）证明：$a_{1}=b_{1}$ ；
（2）求集合 $\left\{k \mid b_{k}=a_{m}+a_{1}, 1 \leq m \leq 500\right\}$ 中元素个数．

20．（15分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>1$ ，且 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=28, a_{4}+2$ 是 $a_{3}, a_{5}$ 的等差中项．数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=1$ ，数列 $\left\{\left(b_{n+1}-b_{n}\right) a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $2 n^{2}+n$ ．
（I）求 q 的值；

（II）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。

10．（5 分）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b_{1}=-1, a_{4}=b_{4}=8$ ，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}}=$
$\_\_\_\_$ 1 ．

15．（13分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b_{1}=1, a_{2}+a_{4}=10, b_{2} b_{4}=a_{5}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求和： $\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{3}+\mathrm{b}_{5}+\ldots+\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}-1}$ ．

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $\mathrm{a}_{1}=-1, \quad \mathrm{~b}_{1}=1, \quad \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{2}=2$.
（1）若 $a_{3}+b_{3}=5$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $T_{3}=21$ ，求 $S_{3}$ ．

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $b_{2}=3, b_{3}=9, a_{1}=b_{1}$ ， $a_{14}=b_{4}$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16、（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=2$ ，前 3 项和 $S_{3}=\frac{9}{2}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=a_{1}, b_{4}=a_{15}$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 n 项和 $T_{n}$ ．

16．（13 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=10, a_{4}-a_{3}=2$
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{2}=a_{3}, b_{3}=a_{7}$ ，问：$b_{6}$ 与数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第几项相等？

18．（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ 。已知 $b_{1}=a_{1}, b_{2}=2, q=d$ ， $S_{10}=100$ 。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）当 $d>1$ 时，记 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19．（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．已知 $b_{1}=a_{1}, b_{2}=2, q=d$ ， $S_{10}=100$ 。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）当 $d>1$ 时，记 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

17．（10分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $S_{3}=a_{2}{ }^{2}$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项式。

17．（10分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比是正数的等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$项和为 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{a}_{1}=1, \mathrm{~b}_{1}=3, \mathrm{a}_{3}+\mathrm{b}_{3}=17, \mathrm{~T}_{3}-\mathrm{S}_{3}=12$ ，求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\},\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式