2017_新课标 II 卷 (2017·文)
17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $\mathrm{a}_{1}=-1, \quad \mathrm{~b}_{1}=1, \quad \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{2}=2$.
（1）若 $a_{3}+b_{3}=5$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $T_{3}=21$ ，求 $S_{3}$ ．
【考点】8E：数列的求和； 8 M ：等差数列与等比数列的综合．
【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】①设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 $\mathrm{d}, \mathrm{q}$ ，即可得到所求通项公式；
（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ， $\mathrm{a}_{1}=-1, \mathrm{~b}_{1}=1, \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{2}=2, \mathrm{a}_{3}+\mathrm{b}_{3}=5$ ，
可得 $-1+d+q=2, \quad-1+2 d+q^{2}=5$ ，
解得 $d=1, q=2$ 或 $d=3, q=0$（舍去），
则 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=2^{n-1}, n \in N^{*}$ ；
② $\mathrm{b}_{1}=1, \mathrm{~T}_{3}=21$ ，
可得 $1+q+q^{2}=21$ ，
解得 $q=4$ 或 -5 ，
当 $q=4$ 时，$\quad b_{2}=4, \quad a_{2}=2-4=-2$ ，
$d=-2-(-1)=-1, S_{3}=-1-2-3=-6 ;$
当 $q=-5$ 时，$b_{2}=-5, \quad a_{2}=2-(-5)=7$ ，
$d=7-(-1)=8, S_{3}=-1+7+15=21$ ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题