若双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =1…——2015 高考数学第 6 题答案解析

【答案】 D
【解析】因为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$ ，
$\therefore 3 b=4 a, \therefore\left(c^{2}-a^{2}\right)=16 a^{2}, \therefore e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$ ．

故选 D．
【考点定位】双曲线的简单性质
【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口．与渐近线有关的结论或方法还有：①与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 共渐近线的可设为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$ ；②若渐近线方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，则可设为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$ ；③双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 $b$ ； ④$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 . b>0)$ 的一条渐近线的斜率为 $\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{e^{2}-1}$ ．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小。另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置。