2021_天津卷 (2021)
15．在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
【答案】
①． 1
②．$\frac{11}{20}$
【解析】
【分析】设 $B E=x$ ，由 $(2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F})^{2}=4 \overrightarrow{B E}^{2}+4 \overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{D F}+\overrightarrow{D F}^{2}$ 可求出；将 $(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 化为关于 $x$ 的关系式即可求出最值．
【详解】设 $B E=x, x \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \because \triangle A B C$ 为边长为 1 的等边三角形，$D E \perp A B$ ，
$\therefore \angle B D E=30^{\circ}, B D=2 x, D E=\sqrt{3} x, D C=1-2 x$ ，
$\because D F / / A B, \therefore \triangle D F C$ 为边长为 $1-2 x$ 的等边三角形，$D E \perp D F$ ，
$\therefore(2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F})^{2}=4 \overrightarrow{B E}^{2}+4 \overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{D F}+\overrightarrow{D F}^{2}=4 x^{2}+4 x(1-2 x) \times \cos 0^{\circ}+(1-2 x)^{2}=1$ ，
$\therefore|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|=1$ ，
$\because(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}=(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E A})=\overrightarrow{D E}^{2}+\overrightarrow{D F} \cdot \overrightarrow{E A}$
$=(\sqrt{3} x)^{2}+(1-2 x) \times(1-x)=5 x^{2}-3 x+1=5\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}+\frac{11}{20}$,
所以当 $x=\frac{3}{10}$ 时，$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\frac{11}{20}$ ．
故答案为： $1 ; \frac{11}{20}$ ．
