（18）（本小题满分 12 分） 设椭圆 x^ 2 a^…——2013 高考数学第 18 题答案解析

## 【答案】

①由题意 $2 c=1$，得 $c=\frac{1}{2}$，
而 $a^{2}-\left(1-a^{2}\right)=\frac{1}{4}$，所以 $a^{2}=\frac{5}{8}, b^{2}=\frac{3}{8}$
所以椭圆的标准方程为

$$ \frac{8 x^{2}}{5}+\frac{8 y^{2}}{3}=1 $$

②设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0, F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)\right.$

直线 $P F_{2}$ 的直线方程为 $\frac{y}{y_{0}}=\frac{x-c}{x_{0}-c}, \quad \because x=0$ 时，$y=\frac{-c}{x_{0}-c} \cdot y_{0}$，
故 $Q$ 点坐标 $\left(0, \frac{-c}{x_{0}-c}\right.$．
由题意 $\overrightarrow{F_{1} P} \cdot \overrightarrow{F_{1} Q}=0$

得 $\left(x_{0}+c, y_{0}\right) \cdot\left(c, \frac{-c}{x_{0}-c} y_{0}\right)=0$
即 $\left(x_{0}+c\right) c-\frac{c y_{0}{ }^{2}}{x_{0}-c}=0$
解得 $y_{0}{ }^{2}=x_{0}{ }^{2}-c^{2}=x_{0}{ }^{2}-\left(2 a^{2}-1\right)$
又 $P$ 点在曲线上，$\frac{x_{0}{ }^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}{ }^{2}}{1-a^{2}}=1$．解得 $x_{0}=a^{2}, y_{0}=:-a^{2}$
则 $P$ 点在定直线 $x+y=1$．
【解析】根据题意确定 $c$ 的大小，以工 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$，以很快求出椭圆 $E$ 的方程，但容易弄混长轴长（ $2 a$ ）、短轴长（ $2 b$ ）和焦距（ $2 c$ ）侱念，简单题，第（2）属于定直线问题，对于定直线问题，需要根据题意确定动点的坐标，守确定动点情纵坐标的沃系，其实是变向的考查求动点 $P$ 的轨迹方程问题，本题可以设出 $P$ 点的坐标，根据垂直关系，利用向量或斜率求出 $P$ 的坐标关系式，再利用 $P$ 在圆锥曲线上，即可求出 $P$ 点坐标，继而能够确定 $P$ 点在定直线上，属于中档题．
【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线与直线，直线与椭圆的位置关系．