2012_退役省自主命题 (2012·文)
17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数 $1,3,6,10, \cdots$ 记为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，可以推测：
（I） $\mathrm{b}_{2012}$ 是数列 $\{\mathrm{an}\}$ 中的第 $\_\_\_\_$项；
（II） $\mathrm{b}_{2 \mathrm{k}-1}=$ $\_\_\_\_$。（用 k 表示）
【答案】（ I ） 5030 ；（II）$\frac{5 k(5 k-1)}{2}$ ．
【解析】（I）因为 $a_{1}=1, a_{2}=1+2, a_{3}=1+2+3, a_{4}=1+2+3+4, \cdots \cdots$ 所以 $a_{2}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ ，因为被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新㪙列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，所以 $b_{1}=\frac{4 \times 5}{2}, b_{2}=\frac{5 \times 6}{2}, b_{3}=\frac{9 \times 10}{2}, b_{4}=\frac{10 \times 11}{2}, b_{5}=\frac{14 \times 15}{2}, \cdots \cdots$ ，每四个数，其分子的两个数的个位数构成一个循环，所以 $\mathrm{b}_{2012}=\frac{5030 \times 5031}{2}$ ，所以， $\mathrm{b}_{2012}$ 是数列 $\{\mathrm{an}\}$ 中的第 5030 项；（II）因为 $b_{1}=\frac{4 \times 5}{2}, b_{3}=\frac{9 \times 10}{2}, b_{5}=\frac{14 \times 15}{2}, b_{7}=\frac{19 \times 20}{2}, b_{9}=\frac{24 \times 25}{2}$ ， $\cdots \cdots$ ，每两个数，其分子的两个数的个位数构成一个循环，所以 $\mathrm{b}_{2 k-1}=\frac{5 k(5 k-1)}{2}$ ．
【考点定位】本小题考查归纳推理，属中档题．推理归纳与类比，是近几年高考的一个热点问题之一，几乎年年必考，一般以选择或填空题的形式考查，应熟练基础知识。