设 F 为双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2…——2019 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求双曲线的离心率

【详解】设 $P Q$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，由对称性可知 $P Q \perp x$ 轴，
又 $\because|P Q|=|O F|=c, \therefore|P A|=\frac{c}{2}, \therefore P A$ 为以 $O F$ 为直径的圆的半径，
$\therefore A$ 为圆心 $|O A|=\frac{c}{2}$ ．
$\therefore P\left(\frac{c}{2}, \frac{c}{2}\right)$ ，又 $P$ 点在圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 上，
$\therefore \frac{c^{2}}{4}+\frac{c^{2}}{4}=a^{2}$ ，即 $\frac{c^{2}}{2}=a^{2}, \therefore e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=2$ ．
$\therefore e=\sqrt{2}$ ，故选A．

【点晴】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．